Problemas Resueltos De Mate 1

PROBLEMA 1:
Halle la ecuación polar de: x2+y2-4x+2y=0
SOLUCION:
Ordenando la ecuación, obtenemos lo siguiente que corresponde a una circunferencia:
x-22+y+12=5…(1)
La ecuación polar de una circunferencia en coordenadas polares está definida por:
r2+ρ2-2rρcos(θ-α)=a2
Donde (ρ,α)es el centro de la circunferencia en coordenadas polares.
En la circunferencia (1), tenemos comocentro (2,-1) que en coordenadas polares es: 5,-53π360
Entonces la ecuación de la circunferencia en coordenadas polares seria:
r2+52-2r5cos(θ+53π360)=5
r=25cos(θ+53π360)

PROBLEMA 2:
Parametrizar la parábola: ax2+bx=y , a<0, b>0. Si 0≤x≤-b/a
SOLUCION:
Completando cuadrados la ecuación queda de la siguiente manera, y como a<0:
y=ax2+bx
y=--ax-b2-a2+b24a
t

Como t=-ax-b2-a,despejando x= t-a-b2a .
Hallando el intervalo de t, tenemos:
0≤x≤-b/a
-b2-a≤-ax≤--aba
-b2-a≤-ax-b2-a≤--aba-b2-a
t
t

Por lo tanto:

y=-t2+b24a, x= t-a-b2a - b2-a≤t≤--aba-b2-a
PROBLEMA 3:
Halle la ecuación cartesiana de la asíntota oblicua a la curva
x=tt2-1, y=t-2t2+t-2
SOLUCION:
Para hallar la ecuación paramétrica nos basamos en el método empleado enecuaciones cartesianas donde:
L:y=mx+b, m= limx→∞y(t)x(t), b=limx→∞y(t)-mx(t)
Si: x→∞, t→1, entonces:
m= limx→∞ytxt=limt→1t-2t+2t-1tt+1t-1=limt→1t-2tt+1t+2=-23
b=limx→∞y(t)-mxt=limt→1t-2t2+t-2+2t3(t2-1)=limt→1 5t2+t-63t+2t-1(t+1)=t-1(5t+6)3t+2t-1(t+1)=118

L:y=-23x+118
PROBLEMA 4:
Determine los puntos de intersección de las curvar:
r2=9cos2θ r=32senθ
SOLUCION:
Para que las curvas seintercepten, r tiene que ser el mismo para ambas curvas, reemplazando la segunda en la primera tenemos:
32senθ2=9cos2θ
9.2.sinθ2=9cos2θ
2(1-cosθ2)=2cosθ2-1
3=4cosθ2
32=cosθ2
cosθ=32 y cosθ=-32
Entonces: θ=π6,5π6 , con esto hallamos dos puntos de intersección: (322,π6),( 322,5π6). Como las curvas son conocidas, la primera es una lemniscata y la segunda una circunferencia,entonces las graficas serian:

Se puede apreciar que existe un tercer intercepto, por el cual hallamos θ cuando r es igual a 0, por el cual el tercer intercepto es el origen coordenado.
PROBLEMA 5:
Determine la condición para que una curva r = f(θ) sea simétrica respecto a θ=π/3.
θ1
θ2
θ=π/3
α
α

Del gráfico
θ1=π3-α
θ2=π3+α
θ1+θ2=2π3

r = f(θ1)= f(θ2)
f(θ1)= f(2π3-θ1)
Generalizando:f(θ)= f(2π3-θ), es la condición que se debe cumplir para que sea simétrico respecto a θ=π/3.
PROBLEMA 6:
Hallar el ángulo de intersección de las curvas:
4rcosθ=3 r=3cosθ
La primera ecuación corresponde a una recta vertical en x=3/4 y la segunda a una circunferencia de radio 3/2, graficando tenemos:

Como r es el mismo hallamos el punto de intersección:

4.3.cosθ.cosθ=3cosθ2=14
θ=π3,-π3
Hallamos el ángulo de intersección del radio polar con la tangente de la circunferencia:
tan∅=r(θ)dr(θ)=3cosθ-3senθ , evaluando en θ=π3 tenemos:
tan∅=-33
∅=5π6
De la grafica el ángulo que forma la recta pendiente con el eje x es entonces:
α=π6
Por lo tanto el ángulo entre la recta y la circunferencia es igual a π3

PROBLEMA 7:
Hallar las ecuaciones polares de:a) Y – 5 = 0
En coordenadas polares:
Y= r.sen(θ)
X= r.cos(θ)
Entonces en la ecuación:
r.sen(θ) – 5 = 0
r = 5sen(θ) ……..Rpta

b) X2– x2y2 – y4 =0
Operando
X2 = y2(x2 + y2)
Igual que en el ejercicio anterior:
Y= r.sen(θ)
X= r.cos(θ)
Reemplazando:
[r.cos(θ)]2 = [r.sen(θ)]2.{ [r.cos(θ)]2 + [r.sen(θ)]2}
=1
[r.cos(θ)]2 = [r.sen(θ)]2. {r2[sen(θ) 2 + cos(θ) 2]}

[r.cos(θ)]2 =[r.sen(θ)]2. r2
r2 = [cos(θ)]2 [sen(θ)]2
r = ctg2θ……..Rpta

c) X2 + y2 – 4x + 2y =0
Operando
X2– 4x +4 +y2+ 2y + 1 =5
(X – 2)2+(y + 1)2 = 5
Reemplazando:
Y= r.sen(θ)
X= r.cos(θ)
En la ecuación:
(r.cos(θ) – 2)2+( r.sen(θ)+ 1)2 = 5
=1
r2(cos2(θ) + sen2(θ) ) – (4.r. cos(θ))+2.r. sen(θ) =0

r = 2.( 2.cos(θ) + sen(θ))……….Rpta

PROBLEMA 8:
Hallar la medida del ángulo entre la recta...