Productos Notables y factorizacion

PRODUCTOS NOTABLES
En Álgebra se llaman productos notables aquellos resultados de la multiplicación entre dos polinomios que tienen características especiales, como veremos en los casos siguientes.
CUADRADO DE BINOMIO
El cuadrado de un binomio es igual a:
“El primer término al cuadrado, más (o menos) dos veces el primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado”.

SUMA POR SUDIFERENCIA
El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual a:
“El primer término al cuadrado, menos el segundo término al cuadrado”.

BINOMIOS CON TERMINO COMUN
El producto de dos binomios con un término común es igual a:
“El término común al cuadrado, más la suma de los términos que no son comunes por el término común, más la multiplicación de los términos que no soncomunes”.

CUBOS DE BINOMIO:
El cubo de un Binomio es igual a:
“El primer término al cubo, más(o menos), tres veces el primer término al cuadro por el segundo, más tres veces el primer término por el segundo al cuadrado, más(o menos) el segundo término al cubo”.

EJEMPLOS:
1.
A)
B)
C)
D)
E)
2.
A) -1
B) 1
C)
D)
E)
3.
A)
B)
C)
D)
E)


FACTORIZACIÓN
Factorizar un número consiste en expresarlocomo producto de dos o más factores (o divisores).
Ejemplo: Factoriza 20 en dos de sus divisores: 4 · 5, es decir 20 = 4  5
FACTOR COMUN MONOMIO:
Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio:
Ejemplo N 1: ¿Cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z?
Entre los coeficientes es el 6, que es el M.C.D de los coeficientes numéricos, o sea, 6·2x + 6·3y- 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z)
Ejemplo N 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2 - 15ab - 10ac
El factor común entre los coeficientes es “5” y entre los factores literales es “a”, además es la menor potencia de los coeficientes literales iguales, por lo tanto
5a2 - 15ab - 10ac = 5a·a - 5a·3b - 5a· 2c = 5a(a - 3b - 2c)
Ejemplo N 3: ¿Cuál es el factor común en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2El factor común es “6xy“ porque 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy )
EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios:
1. 6x - 12 =
2. 4x - 8y =
3. 24a - 12ab =
4. 10x - 15x2 =
5. 8a3 - 6a2 =
6. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =
7.
FACTOR COMUN POLINOMIO:
Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión:
EJEMPLO N 1.
Factorizax(a + b ) + y( a + b ) =
Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) =
= ( a + b )( x + y )
EJEMPLO N 2.
Factoriza 2ª (m - 2n) - b(m - 2n ) =2a(m - 2n) - b (m - 2n)
= (m - 2n) (2a - b)
EJERCICIOS.
1. a(x + 1) + b ( x + 1 ) =
2. x2( p + q ) + y2( p + q ) =
3. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =
4. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 )=
5. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
6. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO.
Se trata de extraer un doble factor común.
EJEMPLO N1.
Factoriza ap + bp + aq + bq
Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos
p(a + b ) + q( a + b )
Se saca factor común polinomio
( a + b ) ( p + q )
EJERCICIOS:
8. a2 + ab + ax +bx =
9. ab + 3a + 2b + 6 =
10. ab - 2a - 5b + 10 =
11. 2ab + 2a - b - 1 =
12. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
13.
Factorización de BINOMIOS:
FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS:
EJEMPLO: Factorizar BINOMIO 9x2 - 16y2 =
Recordemos: (suma por su diferencia)
Factorizando
Luego se tiene:
EJERCICIOS:
14.9a2 - 25b2 =
15. 16x2 - 100 =
16.
17.
Casos especiales:
18. 3x2 - 12 =
19. 3x2 - 75y2 =
Factorización de TRINOMIOS:
FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
Ejemplo:
Factorizar 9x2 - 30x + 25 =
Recordemos: (cuadrado de binomio)
Factorizando
Luego se tiene:
EJERCICIOS:
20. b2 - 12b + 36 =
21. 25x2 + 70xy + 49y2 =
22....