programacion orientada a objetos

Transformaciones Lineales

Definiciones básicas de Transformaciones Lineales

www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx

c 2007-2009
MathCon ⃝

Contenido

1. Transformaciones Lineales.
1.1. Núcleo e imagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Representación matricial de una transformación lineal
1.2.1. Ejemplos de transformaciones lineales: . . .
1.3. Reflexión,Dilatación y Magnificación . . . . . . . .

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2. Valores y Vectores Propios
2.1. Diagonalización de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Transformaciones Lineales.

Definición 1Sean V, W espacios vectoriales, una transformación lineal L es una función L : V →
W , tal que:
1. L(u + v) = L(u) + L(v).
2. L(kv) = kL(u).

Proposición 1 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces L(0) = 0.

1.1. Núcleo e imagen.

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Demostración:
Sea L una transformación lineal entonces,
L(0) = L(v − v) = L(v) − L(v) = 0

Corolario 1 Sea L : V → W , una transformación, si L(0) ̸= 0,entonces T no es lineal.

1.1. Núcleo e imagen.
Definición 2 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores v ∈ V
tales que L(v) = 0, se llama “Kernel” o núcleo de L.

Definición 3 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores w ∈ W
tales que existe un v ∈ V y L(v) = w, se llama imagen de L.

Proposición 2 Sea L : V → W , una transformaciónlineal, entonces el kernel de L es un subespacio vectorial de W.
Proposición 3 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces L es inyectiva (uno a uno) si
y sólo si ker(L) = {0}.
Demostración:
Sea L una transformación lineal entonces, y sean v1 , v2 tales que T (v1 ) = T (v2 ), entonces T (v1 ) −
T (v2 ) = 0, o sea T (v1 − v2 ) = 0, lo que implica que v1 − v2 = 0, es decir v1 = v2 . Así T esinyectiva.

Definición 4 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces el rango de L es la dimensión
de la imagen de L.

Definición 5 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces la nulidad de L es la dimensión
del núcleo de L.

1.2. Representación matricial de una transformación lineal

T: x,y

x, y

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2

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6

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Figura 1.1: Transformación reflexión sobreel eje x.

Proposición 4 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces nulidad(L) + rango(L) =
dim(V ).

Proposición 5 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces
1. Si L es uno a uno, entonces es sobre.
2. Si L es sobre, entonces es uno a uno.

1.2. Representación matricial de una transformación lineal
Definición 6 Sea L : Rn → Rn , una transformación lineal, definido por la matrizA, como L(x) =
Ax.

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1.2. Representación matricial de una transformación lineal

T: x,y

y,x

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4

2

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-4

-2

2

4

6

-2

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Figura 1.2: Transformación rotación de 90◦ (−y, x) .

T: x,y

x, y
6

4

2

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-2

2

4

6

-2

-4

-6

Figura 1.3: Transformación (−x, −y).

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1.2. Representación matricial de una transformación lineal

T: x,y

x,y

6

4

2

-6

-4

-2

2

4

6

-2-4

-6

Figura 1.4: Transformación (−x, y).

1.2.1. Ejemplos de transformaciones lineales:

1. ¿Son lineales las siguientes transformaciones?
a) L(x, y) = (x + 1, y, x + y).
b) L(x, y, z) = (x + y, y, x − z).
c) L(x, y) = (x2 + x, y − y 2 ).
d) L(x, y, z) = (x − y, x2 , 2z).
e) L(x, y, z) = (2x − 3y, 3y − 2z, 2z).
f ) L(x, y) = (x − y, 2x + 2).
g) L(x, y, z) = (x + y, 0, 2x − z).
h) L(x, y) = (x2 −y 2 , x2 + y 2 ).
i) L(x, y) = (x − y, 0, 2x + 3).
2. Encontrar la imagen del punto P , baja la transformación L.

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1.2. Representación matricial de una transformación lineal

T: x,y

y,x

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Figura 1.5: Transformación (y, x).

T: x,y

y, x
6

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2

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Figura 1.6: Transformación (−y, −x).

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1.2. Representación matricial...