Propiedades De Las T.L.

Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y Núcleo

TEOREMA 1: se T:V→W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,v2,… vn en V y todos los escalares ∝1,, ∝2,…, ∝n:
i. T0=0
ii. Tu-v=Tu-Tv
iii. T∝1v1+∝2v2+…+∝nvn=∝1Tv1+∝2Tv2+…+∝nTvn
Nota: en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la derecha es el vector ceroen W.
i. T0=T0+0=T0+T0. Asi,

0=T0-T0=T0+T0-T0=T0
ii. Tu-v=Tu+-1v=Tu+T-1v=Tu+-1Tv=Tu-Tv
iii.
En esta parte se prueba por inducción. Para n=2 se tiene T∝1v1+∝2v2=(∝1Tv1)+(∝2Tv2)=∝1Tv1+∝2Tv2. Así la ecuación 1 se cumple para n=2. Se supone que cumplamos para n=k y se prueba para que n=k+1: (∝1v1+∝2v2…+∝kvk+∝k+1vk+1)=T∝1v1+∝2v2+…+∝kvk+T(∝k+1vk+1) yusando la ecuación en la parte iii) para n=k, esto es igual a (∝1Tv1+∝2Tv2+…+∝kTvk)+ ∝k+1Tvk+1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba.

Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que está completamente determinada por el efecto sobre los vectores de la base.
TEOREMA 2
Sea V un espacio vectorial de dimensión infinita con base B=v1,v2,…,vn. Sea w1,w2,…wnvectores en W. suponga que T1vi=T2vi=wi para i=1, 2, … , n. entonces para cualquier vector v∈V, T1v=T2v: es decir T1=T2.
Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares ∝1,∝2,…,∝n tales que v=∝1v1+∝2v2+…+∝nvn. Entonces del inciso iii) del teorema 1,
T1v=T1∝1v1+∝2v2+…+∝nvn=∝1T1v1+∝2T1v2+…+∝nTnvn=∝1w1+∝2w2+…+∝nwn.

De manera similar
T2v=T2∝1v1+∝2v2+…+∝nvn=∝1T1v1+∝2T1v2+…+∝nTnvn
=∝1w1+∝2w2+…+∝nwn.
Por lo tanto
T1v=T2v.
El teorema indica que si T:V→W y V tiene dimensión infinita entonces solo es necesario conocer el efecto que tiene T sobre los vectores de la base en V. esto es, si se conoce e la imagen decada vector básico, se puede determinar la imagen de cualquier vector en V. esto determina T por completo. Para ver esto, sean v1,v2,…vn una base en V y sea v otro vector en V. Entonces, igual que en la prueba del teorema 2,
Tv=∝1Tv1+∝2Tv2+…+∝nTvn

Así, se puede calcular Tv para cualquier vector v ∈ V si se conocen Tv1,Tv2,…Tvn.
EJERCICIO 1
Se conoce el efecto sobre cualquier otro vectorSea T una transformación lineal de R3 en R2 y suponga que
T100=23,T010=-14 y 100=5-3 calculeT3-45
Solución
Se tiene 3-45=3100-4 010+5001
Entonces
3-45=3T100-4T 010+5T001

3=23-4-14+55-3=69+4-16+25-15=35-22

Surge otra pregunta: si w1,w2,…,wn son n vectores en W. Entonces ¿existe una transformación lineal única T:V→W tal que Tvi=wi para i=1,2,…,n.
Se define la función de Tcomo sigue:
i. Tvi=wi
ii. Si v=∝1v1+∝2v2+…+∝nvn entonces


Tv=∝1w1+∝2w2+…+∝nwn

Como B es una base para V, T está definida para todo v∈V: y como W es un espacio vectorial Tv∈W. Entonces solo falta demostrar que T es lineal; lo que se deduce directamente de la ecuación (1). Si u=∝1v1+∝2v2+…+∝nvn, y β1v1+β2v2+…+βnvn, entonces:

Tu+v=(∝1+β1)v1+∝2+β2v2+…+∝n+βnvn=(∝1+β1)w1+∝2+β2w2+…+∝n+βnwn

=(∝1w1+∝2w2+…+∝nwn)+β1w1+β2w2…+βnwn
=Tu+Tv

De manera similar, T∝v=∝Tv, así que T es lineal. La unicidad de T se obtiene del teorema 2 y la prueba queda completa.

NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V→W una transformación lineal. Entonces
i.El núcleo de T, denotado por Im T, esta dado por

-------------------------------------------------
nuT=v∈V:Tv=0



ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por

-------------------------------------------------
ImT=w∈W:w=Tv para alguna v ∈ V

Observación 1. Se observa que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T (0)=0 de manera que 0 ∈ un T para...