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FACULTAD DE INGENIERÍA
ESPECIALIDAD: INGENIERÍA INFORMÁTICA

CURSO: ÁLGEBRA LINEAL

CICLO: III

PROFESOR: CÉSAR VILLA MOROCHO

LOS OLIVOS

UCSS

Álgebra Lineal

UNIDAD I: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES TEMA Introducción al sistema de ecuaciones lineales Eliminación gaussiana Matrices y operación con matrices Ejercicios 1 - Introducción a los sistemas de ecuacioneslineales 1. De las siguientes ecuaciones, ¿Cuáles son lineales en x 1 , x 2 y x 3 ? a) x1 + 5 x 2 2x3 = 1

b) x1 + 3 x 2 + x1 x3 = 2 e) x13 / 5 - 2 x 2 + x3 = 4

c) x1 = -7 x 2 + 3 x3 f) π x1 -

d) x1−2 + x 2 + 8 x3 = 5

2x 2 +

1 x3 = 71 / 3 3

2. Dado que k es una constante, ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales? a) x1 - x 2 + x3 = sen k b) k x1 -

1 x2 = 9 k

c) 2 k x1 +7 x 2 - x3 = 0

3. Encontrar el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones lineales. a) 7x – 5y = 3 c) -8 x1 + 2 x 2 - 5 x3 + 6 x 4 = 1 b) 3 x1 - 5 x 2 + 4 x3 = 7 d) 3v – 8w + 2x – y + 4z = 0

4. Hallar la matriz aumentada de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. a) 3 x1 − 2 x 2 = −1 4 x1 + 5 x 2 = 3 7 x1 + 3 x3 = 2 b) 2 x1 + 2 x3 = 1 3x1 − x 2 + 4 x3 = 76 x1 + x 2 − x3 = 0 c)

x1 + 2 x 2 − x 4 + x5 = 1 3x 2 + x3 − x5 = 2 x3 + 7 x 4 = 1

5. Determinar un sistema de ecuaciones lineales correspondiente a la matriz aumentada.
⎡ 2 0 0⎤ a) ⎢3 − 4 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 1 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡3 0 − 2 5 ⎤ b) ⎢7 1 4 − 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 − 2 1 7⎥ ⎣ ⎦

1

UCSS ⎡1 ⎢0 d) ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

Álgebra Lineal

⎡7 2 1 − 3 5⎤ c) ⎢ ⎥ ⎣ 1 2 4 0 1⎦

0 1 0 0

0 0 1 0

0 7 ⎤ 0 − 2⎥ ⎥ 0 3⎥ ⎥ 14⎦

6. a) Encontrar una ecuación lineal en las variables x y y que tenga la solución general x = 5 + 2t, y = t b) Demostrar que x = t, y = ecuación del inciso a). 7. La curva y = ax 2 + bx + c de la figura 2 pasa por los puntos (x1 , y1 ) , (x 2 , y 2 ) (x3 , y3 ) . Demostrar que los coeficientes a, b y c son una solución del y sistema de ecuaciones lineales cuya matriz aumentada es

1 5 ttambién es la solución general de la 2 2

⎡ x12 ⎢ 2 ⎢ x2 3 ⎢ x3 ⎣

x1 1 x2 x3

y1 ⎤ ⎥ 1 y2 ⎥ 1 y3 ⎥ ⎦

y

y = a x 2 + bx + c

(x3 , y3 )

(x1 , y1 )
( x2 , y 2 )
x
Figura 2 8. ¿Para qué valor(es) de la constante k el siguiente sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones? ¿Exactamente una solución? ¿Infinidad de soluciones? x– y = 3 2x – 2y = k 9. Considerar el sistema deecuaciones
ax + by = k cx + dy = 1 ex + fy = m

Analizar las posiciones relativas de las rectas ax + by = k, cx + dy = 1 y

2

UCSS
ex + fy = m cuando el sistema

Álgebra Lineal

a) no tiene soluciones. b) Tiene exactamente una solución. c) Tiene infinidad de soluciones. 10. Demostrar que si el sistema de ecuaciones del ejercicio 9 es consistente, entonces del sistema es posible eliminarpor lo menos una ecuación sin modificar el conjunto solución. 11. Sean k = 1 = m = 0 en el ejercicio 9; demostrar que el sistema debe ser consistente. ¿Qué se puede decir del punto de intersección de las tres rectas si el sistema tiene exactamente una solución? 12. Considerar el sistema de ecuaciones x + y + 2z = a + z =b x 2x + y + 3z = c Demostrar que para que este sistema sea consistente, a, by c deben satisfacer c=a+b 13. Demostrar lo siguiente: Si las ecuaciones lineales x1 + kx 2 = c y x1 + lx 2 = d tienen el mismo conjunto solución, entonces las ecuaciones son idénticas.

3

UCSS Ejercicios 2 - Eliminación gaussiana

Álgebra Lineal

1. De las siguientes matrices 3 x 3, ¿cuáles están en forma escalonada reducida?
⎡1 0 0 ⎤ a) ⎢0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡1 0 0 ⎤ e) ⎢0 0 0⎥ ⎢ ⎥⎢0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡0 0 1 ⎤ i) ⎢0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡1 0 0 ⎤ b) ⎢0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡0 1 0 ⎤ f) ⎢1 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡0 0 0 ⎤ j) ⎢0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡0 1 0 ⎤ c) ⎢0 0 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡1 1 0 ⎤ g) ⎢0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡1 0 0 ⎤ d) ⎢0 0 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡1 0 2 ⎤ h) ⎢0 1 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 ⎥ ⎣ ⎦

2. De las siguientes matrices 3 x 3, ¿cuáles están en forma escalonada?
⎡1 0 0 ⎤ a)...