Proyecto de calculo

Aproximación cuadrática y puntos críticos
La aproximación del polinomio de Taylor para funciones de una variable, que estudiamos en el capítulo 11, se extienden a funciones de dos o más variable. A continuación vamos a investigar aproximaciones cuadráticas para funciones de dos variables y las vamos a emplear para comprender mejor la Prueba de las Segundas Derivadas, para la clasicación de lospuntos críticos. En la sección 14.4 estudiamos la linealización de una función en un punto

PROYECTO Nº 2

f

de dos variable

(a, b): L(x, y) = f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)

Recuerde que la gráca de L es el plano tangente a la supercie en de

(a, b, f (a, b)) f
1. en

y la correspondiente aproximación lineal es

z = f (x, y) f (x, y) ≈ L(x, y).

Lalinealización L también se conoce como polinomio de primer grado de Taylor

(a, b).

Si f tiene derivadas parciales continuas de segundo orden en (a, b), entonces el polinomio de segundo grado de Taylor de f es (a, b)es
1 Q(x, y) = f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) + 2 fxx (a, b)(x − a)2 + 1 fxy (a, b)(x − a)(y − b) + 2 fyy (a, b)(y − b)2

y la aproximación f (x, y) ≈ Q(x, y)se denominaaproximación cuadrática a f en (a, b). Verique que Q tenga las mismas derivadas parciales de primero y segundo orden que f en (a, b)
Primero calculamos las derivadas parciales de primer orden de respecto a

f (x, y)con

x

e

y

en el punto

(a, b) :
∂f (x,y) ∂x

=

∂f (x,y) ∂x ∂f (a,b) ∂x

∂f (x,y) ∂x

(a,b)

=

1

∂f (x,y) ∂y ∂f (x,y) ∂y

=

∂f (x,y) ∂y ∂f(a,b) ∂y

(a,b)

=

Ahora procedemos a calcular las segundas derivadas parciales de a

f (x, y)respecto

x

e

y

en el punto

(a, b) :
∂ 2 f (x,y) ∂x2 ∂ 2 f (x,y) ∂x2

=

∂ 2 f (x,y) ∂x2 ∂ 2 f (a,b) ∂x2

(a,b)

=

∂ 2 f (x,y) ∂y 2 ∂ 2 f (x,y) ∂y 2

=

∂ 2 f (x,y) ∂y 2 ∂ 2 f (a,b) ∂y 2

(a,b)

=

∂ 2 f (x,y) ∂x∂y ∂ 2 f (x,y) ∂x∂y

=

∂ 2 f (x,y) ∂x∂y ∂ 2 f(a,b) ∂x∂y

(a,b)

=

∂ 2 f (x,y) ∂y∂x ∂ 2 f (x,y) ∂y∂x

=

∂ 2 f (x,y) ∂y∂x ∂ 2 f (a,b) ∂y∂x

(a,b)

=

ˆ

El Teorema de Clairault nos dice que: Si

∂f ∂f ∂2f ∂2f dx , dy , dxdy y dydx son continuas en ∂2f dxdy
=

(x0 , y0 )
(x0 ,y0 )

entonces

(x0 ,y0 )

∂2f dydx

En nuestro caso, como se sabe por hipótesis que continuas de segundo orden en se puede concluir quef tiene derivadas parciales (a, b), entonces por el teorema de Clairault

∂ 2 f (a,b) ∂ 2 f (a,b) ∂y∂x = ∂x∂y

2

A continuación se obtendrán las primeras y segundas derivadas de el punto

Q(x)en

(a, b)

Q(x, y) = f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) + 1 fxx (a, b)(x − a)2 + 2
1 fxy (a, b)(x − a)(y − b) + 2 fyy (a, b)(y − b)2

Para simplicar la escritura y evitarconfusiones se puede tomar la siguiente notación:

A = f (a, b) B = fx (a, b) C = fy (a, b) D = fxx (a, b) E = fxy (a, b) F = fyy (a, b)
Dado que que

Q(x, y),al igual A, B, C, D, E, F ∈ R

que

f (x, y),

son funciones de

R2 → R

se tiene

Por lo tanto, expresamos a

Q(x, y)

de la siguiente forma:

1 Q(x, y) = A+B(x−a)+C(y−b)+ 2 D(x−a)2 +E(x−a)(y−b)+ 1 F (y−b)2 2

Ahora secalculan las primeras derivadas de

Q(x, y)

en el punto

(a, b)

∂Q(x,y) ∂x ∂Q(x,y) ∂x

= B + D(x − a) + E(y − b) = B + D(a − a) + E(b − b)

(a,b) ∂Q(x,y) ∂x

=B
(a,b) ∂f (a,b) ∂x

∂Q(x,y) ∂x

=
(a,b)

3

∂Q(x,y) ∂y ∂Q(x,y) ∂y

= C + E(x − a) + F (y − b) = C + E(a − a) + F (b − b)

(a,b) ∂Q(x,y) ∂y

=C
(a,b) ∂f (a,b) ∂y

∂Q(x,y) ∂y

=
(a,b)

Ahora se procedea calcular las segundas derivadas:

∂Q(x,y) ∂x

= B + D(x − a) + E(y − b)
∂ 2 Q(x,y) ∂x2 ∂ 2 Q(x,y) ∂x2

=D =D

=(a,b) ∂ 2 f (a,b) ∂x2

∂ 2 Q(x,y) ∂x2

=
(a,b)

∂Q(x,y) ∂y

= C + E(x − a) + F (y − b)
∂ 2 Q(x,y) ∂y 2

=F
=(a,b) ∂ 2 f (a,b) ∂y 2

∂ 2 Q(x,y) ∂y 2

=
(a,b)

∂Q(x,y) ∂x

= B + D(x − a) + E(y − b)
∂ 2 Q(x,y) ∂y∂x ∂ 2 Q(x,y) ∂y∂x

=E =E

(a,b) ∂ 2 f...