Proyecto Final

Maestros Online |
Problemas de Matemáticas Grupo de ejercicios |
Servicio de asesorías y solución de ejercicios |

Versión Copia |

1. Dada la siguiente función

a. Comprueba que es una función de densidad de probabilidad si
Solución:
Para comprobar que la función dada es una función de densidad de probabilidad se debe cumplir la condición de que el área total bajo lacurva que encierra dicha función es igual a uno, es decir
-∞∞f(x)dx=1
Para demostrar esto, es necesario sustituir la función dada fx=15e-x5, x≥00, x<0
En la integral anterior. Dado que la función está dividida en dos secciones, para valores de x mayores o iguales que cero y por otra parte para valores menores que cero, entonces la sustitución de la función quedaría de lasiguiente manera:
-∞∞fxdx=0∞15e-x5dx+ -∞00 dx
La integral definida de cero, es cero, -∞00 dx=0
De manera que solo nos queda la primera parte de la expresión anterior:
-∞∞fxdx=0∞15e-x5dx
Resolviendo: 0∞15e-x5dx=-e-x50∞=-e-∞5+e-05=-e-∞+e0=0+1=1
Lo cual prueba que ésta es una función de densidad de probabilidad.

b) La probabilidad de que x quede entre a y b está dada por:

Ojo: la expresiónque da el ejercicio está mal, la probabilidad en un intervalo dado no necesariamente es 1 cuando no se realiza en toda la extensión de la función de probabilidad.

Solución:
Es necesario calcular la probabilidad de que el valor de x esté entre o y 5, para ello sustituimos en la integral definida estos valores como límites de integración.
05fxdx=0515e-x5dx
Evaluando:0515e-x5dx=-e-x505=-e-1+e=-0.3678+1=0.6321
Por lo tanto podemos decir que la probabilidad de que x esté entre 0 y 5 es de 0.6321
O expresado en forma matemática
P0≤x≤5=0.6321

c) Determina el valor esperado de x, el cual está dado por .
Solución:
El valor esperado de x se determina únicamente evaluando la función de probabilidad de la manera que muestra la fórmula del encabezado, es decir multiplicando lavariable x por la función de probabilidad. Así realizando las integrales correspondientes y evaluándolas para los límites dados, obtenemos el valor esperado:
Ex=-∞∞xfxdx=0∞15xe-x5dx+ -∞00 dx
Ex=-∞∞xfxdx=0∞15xe-x5dx+ -∞00 dx=15e-x5-25 - 5 x0∞
15e-x5-25 - 5 x0∞=-5e-∞5-∞e-∞5+(5e-05+0e-05)=0-0+5+0=5
Por lo tanto el valor esperado es 5

2. El modelo de epidemias asume que la enfermedad se extiendea un ritmo proporcional al producto del número total infectado y al número no infectado todavía. Sea x el número de individuos recientemente infectados en un momento t de una comunidad de n individuos susceptibles. Así el modelo matemático para representar esta epidemia está dado a través de la siguiente ecuación diferencial
Encuentra el número de individuos recientemente infectados. Considerauna comunidad de 1,000 individuos en un tiempo de 10 días a un ritmo de crecimiento de la epidemia del 15%. Representa gráficamente la función.
Por el enunciado la ecuación diferencial más bien parece que debiera de ser esta:

dxdt=kxn-x

No estoy seguro de dónde se saca en "x+1". Pero si la ecuación dada es parte del enunciado aceptémosla como está:

dxdt=k(x+1)²(n-x)
Se puede reescribircomo:
dx(x+1)²(n-x)=kdt
Ahora se puede resolver por variables separadas. Integrando a ambos lados:
t0tkdt=x0xdxx+12n-x
x0xdxx+12n-x=x0xdxx+12n-x
Los datos son: k=0.15, n=1000,
Así: kt=-11001 1 + x- log-1000+x1002001 + log1+x1002001+c
(Obtenido integrando con la página de wólframalpha.com)
Hasta ahí se puede llegar con los datos proporcionados, ya que no se cuenta con los valoresiniciales para calcular la constante que sale de la integral.

3. Una pelota se deja caer de 6 metros y empieza a botar. La altura de cada salto es de 3/4 la altura del salto anterior. Encuentra:
a. La secuencia que representa este comportamiento.
b. La serie que representa la distancia total vertical recorrida.
c. Encuentra la distancia vertical total recorrida por la...