Prueba Probabilidades

Pontificia Universidad Cat´lica de Chile o Facultad de Ciencias Econ´micas y Administrativas o Primer Semestre 2012
Curso Sigla Pauta Profesores : : : : Probabilidad y Estad´ ıstica EAS200A I2 ´ Rafael Aguila (Sec 01), Victor Correa (Sec 02), Osvaldo Ferreiro (Sec 03) y Ricardo Olea (Sec 04)

Problema 1 Una pyme est´ formada por dos talleres A y B, donde laboran 5 y 7 trabajadoresrespectivamente. Se a selecciona al azar a 4 trabajadores. (a) [2.0 Ptos.] Determine la distribuci´n de probabilidad del n´mero de trabajadores del taller A en una o u muestra tomada sin reemplazo. ¿Cu´l es la probabilidad que en la muestra al menos 3 trabajadores a correspondan al taller A? La empresa se desarroll´ y creci´, pero mantiene los dos talleres de producci´n A y B, pero ahora 10 y 14 o o otrabajadores respectivamente. (b) [4.0 Ptos.] Calcule nuevamente la probabilidad solicitada en (a) cuando el muestreo es realizado sin reemplazo y con reemplazo. Compare y comente. Soluci´n: o (a) Definamos como X al n´mero de trabajadores del taller A en la muestra, como la selecci´n es sin u o reemplazo tenemos que X ∼ Hipergeomerica(n = 4, N = 12, m = 5) [0.8 Ptos.] con soporte (o recorrido) ΘX = {0, 1,2, 3, 4}. [0.2 Ptos.] Se pide P (X ≥ 3) = P (X = 3) + P (X = 4) [0.3 Ptos.] 5 12 − 5 · 3 1 12 4 5 12 − 5 · 4 0 12 4

=

+

[0.3 Ptos.]

= 0.14141414 + 0.01010101 = 0.1515152 (b) Muestreo sin reemplazo: [0.2 Ptos.]

[0.2 Ptos.]

X ∼ Hipergeomerica(n = 4, N = 24, m = 10) [0.8 Ptos.] con soporte (o recorrido) ΘX = {0, 1, 2, 3, 4}. [0.2 Ptos.]

EAS200A - Probabilidad y Estad´ ıstica1

Primer Semestre 2012

Se pide P (X ≥ 3) = P (X = 3) + P (X = 4) 10 24 − 10 · 3 1 24 4 10 24 − 10 · 4 0 24 4

=

+

= 0.15810277 + 0.01976285 = 0.1778656 Muestreo con reemplazo: X ∼ Binomial(n = 4, p = 10/24) con soporte (o recorrido) ΘX = {0, 1, 2, 3, 4}. [0.2 Ptos.] Se pide P (X ≥ 3) = P (X = 3) + P (X = 4) = 4 3 10 24
3

[0.5 Ptos.]

[0.8 Ptos.]

1−

10 24

4−3

+

44

10 24

4

1−

10 24

4−4

= 0.16878858 + 0.03014082 = 0.1989294 [0.5 Ptos.]

Podemos ver que las probabilidades son levemente distintas dado que los modelos binomial e hipergeom´trico son parecidos cuando el tama˜o de la muestra es peque˜o con respecto al grupo ´xito y la e n n e poblaci´n. en el modelo hipergeom´trico, las probabilidades de ´xito (pertenecer al taller A) en cadao e e extracci´n son parecidas en las primeras extracciones lo que hace se asemeje al modelo binomial, donde o las probabilidades no cambian. [1.0 Ptos.] + 1 Punto Base

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Primer Semestre 2012

Problema 2 En una gran empresa de la miner´ durante el a˜o 2011 ocurrieron 7.300 accidentes laborales. Considere ıa, n que el a˜o 2011 tuvo 365 d´ y que eld´ tiene 24 hrs. Con base a esta informaci´n, y asumiendo que el n ıas ıa o n´mero de accidentes sigue un Proceso de Poisson, responda las siguientes preguntas: u (a) [3.0 Ptos.] Si cada d´ se divide en tres turnos de 8 horas (de las 00:00 a 08:00, de 08:00 a 16:00 y ıa de 16:00 a 24:00 hrs.) y usted revisa la bit´cora de lo acaecido en los ultimos 8 turnos. ¿Cu´l es la a ´ a probabilidad que enal menos dos de ellos hayan ocurrido exactamente 5 accidentes? (b) [3.0 Ptos.] Si un prevencionista de riesgo comienza su turno a las 08:00 de un d´ dado, ¿cu´l es la ıa a probabilidad que tenga que esperar al menos 3 horas para la ocurrencia de un segundo accidente en su turno? Soluci´n: o (a) Definamos como Xt al n´mero de accidentes por hora, es decir, u Xt ∼ Poisson(ν t) [0.5 Ptos.] con ν eln´mero esperado de accidente en una hora. u Del enunciado tenemos que 5 7300 = [0.5 Ptos.] 365 · 24 6 La probabilidad p que en un turno de 8 horas hayan ocurrido exactamente 5 accidentes esta dada por ν= (8 · 5/6)5 e−8·5/6 = 0.139658 [0.5 Ptos.] 5! Definamos como Y al n´mero de turnos de 8 horas en que han ocurrido exactamente 5 accidentes. u p = P (X8 = 5) = Por la independencia de los accidentes...