Pruebas y Refutaciones

PRUEBAS Y REFUTACIONES LA LÓGICA DEL DESCUBRIMIENTO MATEMÁTICO

MARTINEZ BENITEZ JOHAN SEBASTIAN
20111167070

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION
CIENCIA Y SOCIEDAD
BOGOTA D.C
2011

PRUEBAS Y REFUTACIONES LA LÓGICA DEL DESCUBRIMIENTO MATEMÁTICO

PRESENTADO POR: MARTINEZ BENITEZ JOHAN SEBASTIAN
20111167070

PRESENTADO A: FIDEL MOSQUERAUNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION
CIENCIA Y SOCIEDAD
BOGOTA D.C
2011

VISION SINTÁCTICA:
El matemático y epistemólogo de origen húngaro Imre lakatos, presenta en su obra “Pruebas y refutaciones”, una clase donde los estudiantes están nombrados como letras griegas y discutes acerca de un problema que han determinado junto con su maestro enclases anteriores, en donde el maestro propone encontrar una relación entre el número de vértices V, el número de aristas A y el número de caras C de los poliedros, especialmente de los poliedros regulares.

Así empieza la gran odisea para intentar demostrar la conjetura, donde a través del dialogo que se forma nos muestra como se puede estar generando un conocimientodando a conocer cada una de las cosas que se puedan ocurrir, luego estudiarlos y así concluir si eso que se está dando o no un conocimiento verdadero. Como lo nombra el autor “estos ensayos tienen por fin abordar algunos problemas de la metodología de las matemáticas, donde se refiere a la metodología en un sentido próximo a la heurística de Pólya y Bernays, así como la lógica del descubrimientoo la lógica de la situación de Popper”.

Por ejemplo, la primer “prueba que presenta el maestro en el texto, donde da a conocer un experimento mental que lo define de la siguiente manera: “Paso 1: imaginemos que el poliedro está hueco, con una superficie restante, poniéndola plana sobre el encerado sin romperla. Las caras y aristas se deformarán, las aristas pueden hacerse curvas, pero V y A nose alterarán, de modo que si V-A+C=2 en el poliedro original, en esta red plana tendremos que V-A+C=1(recuérdese que hemos eliminado una cara). (La fig.1 muestra la red plana en el caso de un cubo.) Paso 2: triangulemos ahora nuestro mapa, pues en realidad se asemeja a un mapa geográfico. Trazamos diagonales (tal vez curvilíneas) en esos polígonos (quizás curvilíneos) que no son ya triángulos(posiblemente curvilíneos). Al dibujar cada una de las diagonales, aumentamos tanto A como C en uno, de modo que el total de V-A+C no variará (fig. 2.) Paso 3: Eliminamos ahora los triángulos, uno a uno, de la red triangulada. Para eliminar un triangulo o eliminamos una arista, con lo que desaparece una cara y una arista (fig. 3(a)), o eliminamos dos aristas y un vértice, con lo que desaparece unacara, dos aristas y un vértice (fig. 3(b)). Así pues, si antes de la eliminación de un triangulo teníamos que V-A+C=1, después de eliminarlo seguirá siendo así. Al fin de este proceso obtenemos un solo triángulo, en cuyo caso V-A+C=1 es verdad. Por tanto, hemos probado nuestra conjetura”

De esta primera prueba que fue una idea original de Cauchy, de aquí se desprende toda la trama del libro, yaque los alumnos, van relativamente bien en su demostración hasta que aparecen contraejemplos denominados poliedros “ no normales” donde aparecen ejemplos como lo son el dodecaedro estrellado o “erizo”, el cubo con cresta y junto con ellos diferentes opiniones y metodologías de buscar mejorar la conjetura al comienzo nombrada. Algunas metodologías que son nombradas en el desarrollo son lassiguientes: la crítica de la prueba mediante contraejemplos locales pero no globales, esta metodología se refiere como lo dice su nombre a criticar la prueba pero atacando a sus lemas y no a ella directamente, es decir teniendo contraejemplos que refuten un lema de la prueba, seguido de esto hace la operación “inversa” con la prueba, ya que la metodología usada ahora es la crítica de la conjetura...