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INTRODUCCIÓN
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo
XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, juntocon las integrales, constituyen
el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma
independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no sesimplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que
usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
1. Tasa de variación mediaIncremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h,
pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lamaincremento
de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de
cambio) T.V.M., dela función y =f(x) en el intervalo [a, b]
al cociente entre los incrementos de la función y de la
variable, es decir:
f (b) − f (a )T.V.M. [a, b] =
b−a
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función
f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]Solución
f ( 2) − f ( 0) −1 − 3
= = −2
T.V.M. [0, 2] =
2−0 2Ejercicio 1. Calcular b para que la tasa de variación media de la función f(x) = ln(x+b)
en el intervalo [0,2] valga ln2.
2. Tasa de variación instantánea. La derivada
Consideremosun valor h (que puede ser positivo o negativo).
f ( a + h) − f ( a )
La tasa de variación media en el...