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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS Cálculo 4 Solucionario de la Practica N° 2 Semestre Académico 2009-2
1. a) Halle el área de la superficie S, donde S es la porción del plano y + z = 2 en el primer octante limitado por el cilindro z = 2 − x2 . (3 ptos.) b) Sean u(x, y) y v(x, y) campos escalares con derivadas parciales de primer orden conuna curva de Jordanregular por partes y orientada en sentido antihorario. Demuestre que u v dx + u v d y = v(u x − u y ) + u(v x − v y ) dx d y (2 ptos.) tinuas en un conjunto conexo y abierto U ⊂ R2 . Sea D ⊂ U una región limitada por

Γ

D

Solución a) Sea S : y = 2 − z = f (x, z), para (x, z) ∈ D = {(x, z) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤
2

2, 0 ≤ z ≤ 2 − x2 }
2

A(S) = Otra forma

D

N(x, z) dx d z =

2− x 2 0

02d z dx =

2

0

8 (2 − x2 )dx = . 3 2, x2 ≤ y ≤ 2}

Sea S : z = 2 − y = f (x, y), para (x, y) ∈ D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤
2 2

A(S) =

D

N(x, y) dx d y =

0

x2

2d y dx =

2

2 0

8 (2 − x2 )dx = . 3

b) El campo vectorial F = (P, Q) = (u(x, y)v(x, y), u(x, y)v(x, y)), D y Γ verifican las condiciones del Teorema de Green. Además, se cumple P y (x, y) = u y v +uv y , Luego, uvdx + uvd y =
= =

Q x (x, y) = u x v + uv x .

Γ

D

(Q x (x, y) − P y (x, y))dx d y (u x v + uv x ) − (u y v + uv y ) dxd y v(u x − u y ) + u(v x − v y ) dxd y.

D

D

2. Usando el teorema de Green, halle el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x, y) = 2x ye x y + curva Γ : y = | x − 1|3
2 2 2x 2y − 2y, x2 e x y + 2 + y2 1+ x 1 + x2 + y2

para mover unapartícula desde el punto A(−1, 8) hasta el punto B(3, 8) a lo largo de la

(4 ptos.)

Solución Se sabe que W =
Γ

F.dr. Es claro que F = (P, Q) es de clase C 1 sobre R2 , donde
2

P(x, x) = 2x ye x y + Asimismo, Q x (x, y) = 2xe x y + 2x3 ye x y −
2 2

2x − 2y, 1 + x2 + y2

Q(x, y) = x2 e x

2

y

+

2y . 1 + x2 + y2

2 2 4x y 4x y ; P y (x, y) = 2xe x y + 2x3 ye x y − − 2.2 + y2 )2 (1 + x (1 + x2 + y2 )2

A

Γ0

B

D

Γ

Denotemos por Γ0 al segmento de recta que une los puntos A y B, y por D la región teorema de Green, encerrada por Γ y −Γ0 . El campo F, la curva Γ ∪ (−Γ0 ) y D verifican las condiciones del

D

2 dx d y =

Γ

F.dr +

F.dr,
− Γ0

donde Γ0 : r(t) = (t, 8), t ∈ [−1, 3]. Luego,

Γ

F.dr =
=4

D

2dx d y +
3 8 ( x−1)3F.dr
Γ0
3

1

d y dx +

74 = 48 + e72 − e8 + ln( ) − 64 66 37 = e72 − e8 + ln( ) − 16. 33 2

−1

16te8 t +

2

2t − 16 dt 65 + t2

3. Calcule la siguiente integral
S

sólido K = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 9, 0 ≤ z ≤ 2}. Solución

(x2 + y2 + z2 ) dS, donde S es la superficie que limita al

(4 ptos.)

La superficie S es regular y consiste del cilindro S 1 : x2 + y2 = 9 ysus tapas S 2 : z = 2 y S 3 : z = 0. En S 1 : σ(θ , z) = (3 cos θ , 3 sen θ , z), (θ , z) ∈ [0, 2π] × [0, 2], σθ × σ z = 3, (x2 + y2 + z2 ) dS =
2π 0 0 2

S1

(9 + z2 )3 d z d θ = 124π.

En S 2 : σ(θ , r) = (r cos θ , r sen θ , 2), (θ , r) ∈ [0, 2π] × [0, 3], σθ × σr = r,
S2

(x2 + y2 + z2 ) dS =

2π 0

3 0

(r 2 + 4)r dr d θ =

153 π. 2

En S 3 : σ(θ , r) = (r cos θ , r sen θ, 0), (θ , r) ∈ [0, 2π] × [0, 3], σθ × σr = r,
S3

(x2 + y2 + z2 ) dS =

2π 0 0

3

(r 2 + 0)r dr d θ =

81 π. 2

Por lo tanto,
S

(x2 + y2 + z2 ) dS = 124π +

153 81 π+ π = 241π. 2 2

4. Considere la función inyectiva σ(u, v) = (cos u, v + sen u, v), para (u, v) ∈ D =]0, 2π[×]0, 1[. ptos.) Demuestre que el rango de σ, es decir S = r(D), es una superficie regular y grafique S.(3

Solución Es claro que σ es de clase C 1 sobre el interior del conjunto D. Asimismo, para cada punto p 0 = σ(u 0 , v0 ) ∈ S se tiene que los vectores tangentes a S en p 0 respectivamente son
σu (u 0 , v0 ) = (− sen u 0 , cos u 0 , 0)

y

σv (u 0 , v0 ) = (0, 1, 1).

Asimismo, N(u 0 , v0 ) = σu (u 0 , v0 ) × σv (u 0 , v0 ) = (cos u 0 , sen u 0 , sen u 0 ), superficie regular. cuya norma...