Punto de inflexión y concavidad

Punto de inflexión y Concavidad
Punto de inflexión
El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.
Los puntos de inflexión donde la función es derivable, tienen la característica de tener una recta tangente que cruzala gráfica de f.

Ejemplo:

El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).
Concavidad
En geometría, la cóncavavidad de una curva o una superficie es la parte que se asemeja a la zona interior de una circunferencia o de una esfera.[1] Es el concepto complementario al de convexidad.
Tipos deConcavidad
f presenta concavidad positiva en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) > f'(a)(x-a) + f(a).
|     | La función presenta concavidad positiva en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por encima" de la recta tangente a f(x) en el punto a. |
f presenta concavidad negativa en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*af(x) < f'(a)(x-a) + f(a).
|     | La función presenta concavidad negativa en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por debajo" de la recta tangente a f(x) en el punto a. |

Criterios que determinan el tipo de concavidad en la grafica de una función
Condición suficiente para la existencia de concavidad positiva
Si la derivada segunda de una función f(x) espositiva en el punto a, entonces tiene concavidad positiva en dicho punto.
H) f''(a)>0
T) f tiene concavidad positiva en x=a
Demostración:
Existe f''(a) => existe f'(a) => (teorema) f es continua en x=a.
Sea g(x) = f(x) - f'(a)(x - a) - f(a)
g'(x) = f'(x) - f'(a)
g''(x) = f''(x)
g''(a) = f''(a) > 0 => por Cond. suf. para el crecimiento puntual g'(x) es creciente en x=a
=>por def. de crecimiento puntual existe δ>0 / para todo x1 perteneciente a (a - δ,a) g'(x) < g'(a) = 0 y para todo x2 perteneciente a (a, a + δ) g'(x) > g'(a) = 0
Signo de g'(x):
- 0 +
-------|-------
a
=> por Cond. suf. para la existencia de mínimo relativo g presenta un mínimo relativo en x=a.
=> por def. de mínimo relativo existe un E*a / para todo xperteneciente al E*a g(x) > g(a) = 0.
f(x) - f'(a)(x - a) - f(a) > 0
f(x) > f'(a)(x - a) + f(a) => por definición f tiene concavidad positiva en x=a.
Condición suficiente para la existencia de concavidad negativa
Si la derivada segunda de una función f(x) es negativa en el punto a, entonces tiene concavidad negativa en dicho punto.
H) f''(a) < 0
T) f tiene concavidad negativa enx=a
Procedimiento para obtener los puntos de inflexión y la concavidad de una función
CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Si f es una función que admite derivadas hasta el orden n al menos, y tal que:

por la fórmula de Taylor se tiene: y tomando límites cuando x   >a se tiene que en un entorno de a:

Si nos fijamos en el primer término de la igualdad, se estudia el signo dela función comparándola con el signo de la recta tangente, por lo tanto:
* Si la recta tangente está por encima de la gráfica de la función y dicha función es cóncava.
* Si la recta tangente está por debajo de la gráfica de la función y dicha función es convexa.
Por lo tanto:
Si n es par:
Si
Si
Si n es impar, el signo cambia según estemos a la izquierda o a la derecha de a, porlo tanto habrá un punto de inflexión.

EJEMPLO 1f(x) = x4 en a = 0. Es: Por lo tanto, la función es convexa y presenta un mínimo relativo. | EJEMPLO 2f(x) = x5 en a = 0. Es: Por lo tanto, la función es creciente y presenta un punto de inflexión. |

METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION
Criterio de la primera derivada
Se llama Criterio de la primera derivada al método...