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NÚMEROS COMPLEJOS
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
• Suma
[pic]
• Producto por escalar
[pic]
• Multiplicación
[pic]
• Igualdad
[pic]

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
• Resta
[pic]
•División
[pic]

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que [pic].
Campo de los números complejos
Los números complejos forman un campo, el campo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por elcarácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcampo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un campo ordenado.

Unidad imaginaria
Tomandoen cuenta que [pic], se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como
[pic]
De donde se deduce inmediatamente que,
[pic]
Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado
Valor absoluto o módulo de un número complejo
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:
[pic]Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.
Argumento
El argumento principal o fase de un número complejo genérico [pic](siendo x=Re(z) e y=Im(z)) viene dado por la siguienteexpresión:
[pic]
donde atan2(y,x) es la función arcotangente definida para los cuatro cuadrantes:
[pic]
O también: [pic]Siendo:
[pic]
Conjugado de un número complejo
Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.
El conjugado de un complejo z (denotado como [pic]ó [pic]) es un nuevo númerocomplejo, definido así:
[pic]
Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.
Con este número se cumplen las propiedades:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
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Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.
RepresentacionesRepresentación binómica
[pic]
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Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; [pic]es la expresión binomial del punto.
Un número complejo se representa en forma binomial como:
[pic]
La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:
[pic][pic]
Representación polar
[pic]
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El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; [pic]o [pic]es la expresión polar del punto.
En esta representación, [pic]es el módulo del número complejo y el ángulo [pic]es el argumento del número complejo.
[pic]
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Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:[pic]
Sacamos factor común r:
[pic]
Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:
[pic]
la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.
Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la...