rafael novoa

TALLER DE APLICACIONES DE LA DERIVADA

Problema 1. Nos dicen que la función f(t) = t -2 es la derivada de la inflación en función del tiempo en cierto país, cuando 0. Determinar el valor de t para el que la inflación alcanza el valor mínimo.
Problema 2. Se calcula que el valor de una acción t meses después de salir al mercado durante el primer año viene dado por la función v(t)=t2-6t+10.Explique razonadamente en qué mes conviene comprar las acciones para adquirirlas al precio mas ventajoso.
Problema 3. La velocidad (en m./sg.) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros viene dado en función del espacio recorrido, x, por la siguiente expresión:
f(x) =-0´00055 x (x-300)
Deducir de forma razonada:
¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidadmáxima?¿cuál es ésta velocidad?
Problema 4. El coste total en euros de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por C(x) = . Definir la función que determina el coste medio por litro producido y determinar de forma razonada con qué producción dicho coste medio será mínimo. ¿cuál es el valor de dicho coste?
Problema 5. Se calcula que entre las 2000 y 5000 revoluciones por minuto elconsumo de gasolina de un motor viene dado por la función f(x) =2x2-12x +23, donde f indica los litros consumidos en una hora y x viene expresada en miles de revoluciones por minuto. Hallar de forma razonada:
a) Las revoluciones con las que el consumo del motor es mínimo.
b) Las revoluciones con las que el consumo del motor es máximo.
c) Dichos consumos.
Problema 6. El rendimiento, f(t), en unexamen que dura una hora en función del tiempo t viene dado por
,
Deducir razonadamente:
a) Cuándo el rendimiento es nulo.
b) Cuándo el rendimiento es máximo.
c) Cuándo el rendimiento es creciente y cuándo es decreciente.
Problema 7. En una pradera se tiene que vallar una zona de 400 m2, que debe tener forma de rectángulo. Cada metro de valla cuesta 100 €. Si x es la medida en metros deuno de sus lados, se pide:
a) Obtener razonadamente la función f tal que f(x) sea el coste de la valla, indicando entre qué valores puede variar x.
b) Deducir razonadamente el valor de x para el que la función f(x) alcanza el valor mínimo.

1. La función f(t)= 2`1t2+ 0`8 t-1, para , donde el tiempo, t, viene expresado en años, proporciona los beneficios de una empresa en miles de euros entrelos años 1991 (t =0) y 2000 (t =9).
a) Calcular de forma razonada la tasa de variación media del beneficio de esta empresa en este periodo de tiempo.
b) Obtener de forma razonada la tasa de variación media del beneficio de los últimos años.
c) ¿Qué podemos concluir acerca de la variación del beneficio en los dos últimos años?
2. Mediante la utilización razonada de la relación de la derivada deuna función con su crecimiento o decrecimiento, obtener en qué puntos del intervalo [-2, 2] son crecientes o decrecientes las funciones:
a) f(x) = x2
b) f(x) =x3-7.
3. Obtener la derivada de la funciónen el punto de abscisa x = 4. Explicar lo que significa el valor obtenido de la derivada. Calcular la tasa de variación instantánea en el punto de abscisa x = 5.
c) ¿Qué podemos concluir acercade la variación del beneficio en los dos últimos años?
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye larentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva la función:
R`(x)=-0,004x+0,8
-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que...