RECONOCIMIENTO DE LAS CURVAS MECÁNICAS COMO SERIES DE POTENCIA

MARCO TEÓRICO

… ¡Alto! ¡Alto! le dije, no te tortures más intentando demostrar la identidad de la catenaria con la parábola, pues es completamente falsa… las dos curvas son tan diferentes que una es algebraica y la otra trascendente…
JEAN BERNOULLI

Se reconoce que la génesis de la actividad matemática como una disciplina que se fundamenta bajo aspectos de rigor y argumentación deductiva seencuentra en la antigua Grecia, principalmente con el estudio de la geometría donde surgieron muchos resultados importantes y de la cual se originaron los problemas más relevantes en toda la historia de la matemática; problemas que hunden sus raíces en la actividad de medir, como es el problema de la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo. Estos problemasdesafiaron a los antiguos griegos, en el sentido de que aun teniendo toda una estructura metodológica y filosófica para la solución de problemas, en lo que respecta a la construcción de figuras, se vieron obligados a buscar alternativas diferentes para la solución de los mismos, soluciones que serían rechazadas por algunos matemáticos de la época por no sujetarse a los principios filosóficos con los quese trabajaba en geometría.
Para los antiguos griegos un objeto matemático existía si se podía construir, y construir bajo el paradigma impuesto por Platón el cual consistía en usar solamente regla y compás. Es por esto que dichos problemas mencionados anteriormente son tan influyentes en todo el desarrollo de la matemática, dado que se descubrió que es imposible construir las figuras que seproponen solamente utilizando regla y compás, es decir, de alguna manera dichos problemas se resistieron ser solucionados mediante las herramientas euclidianas. De esta manera, se sugieren y se idean otras estrategias de solución para los problemas, motivadas por los mismos griegos y en los cuales intervienen otros tipos de procedimientos y de objetos los cuales no se encontraban contemplados dentrode los principios para construir figuras; a una de esas estrategias se les denominó mecánicas porque en ella se crean unas curvas que resultan de combinación de movimientos de puntos, rectas y círculos en el plano y por esto no eran aceptadas dentro de la maquinaria para hacer geometría, porque la relación que se daba entre estos movimientos no tenía una determinación exacta.
Es así como seclasifican las soluciones a los problemas geométricos dependiendo del tipo de curva que intervenía en su solución, como lo describe Descartes (1637) en el libro segundo de su Geometría titulado Sobre la naturaleza de las curvas
Los antiguos estaban familiarizados con el hecho de que los problemas de la geometría se pudieran dividir en tres clases, a saber: planos, sólidos y problemas lineales. Esto esequivalente a decir que algunos problemas requieren sólo círculos y líneas rectas para su construcción, mientras que otros requieren una sección cónica y todavía otros requieren curvas más complejas.

Esta distinción resulta ser muy importante porque a partir de allí, Descartes hace preferencia en estudiar, caracterizar y fundamentar las curvas que no proceden de los métodos mecánicos que losantiguos griegos descartan. Arenaza, V (1998) menciona al respecto sobre el rechazo de estas curvas diciendo que
La razón de la exclusión de la geometría de las curvas mecánicas no sería porque, al ser líneas más complejas fuera necesaria mayor precisión de trazado o aparatos más sofisticados que no alcanzaran a dar la exactitud requerida, puesto que la verdadera perfección de la geometría griega selograba en el pensamiento, esto es, en la claridad del método para llevar a cabo las construcciones.
De esta manera Descartes en su trabajo, admite con su método las curvas que se denominan geométricas las cuales son posible representar por medio de ecuaciones, realizando así lo que se conoce como el puente de lo geométrico (sintético) a lo analítico. Sin embargo, dado que para las curvas...