Series de potencias

Series de Potencias
Definición: Una serie de potencias en x-a es una serie infinita de la forma
n=0∞Cn(x-a)n
También se dice que esa serie es una serie de potencias centrada en a.
Convergencia: Dado un valor de x, una serie de potencias es una serie de constantes. Si la serie equivale a una constante real finita para la x dada, se dice que la serie converge en x.
Intervalo de convergencia:Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia, que es el conjunto de los números para los cuales converge la serie.
Radio de convergencia: Todo intervalo de convergencia posee un radio de convergencia R. Para una serie de potencias de la forma n=0∞Cn(x-a)n
Sólo hay 3 posibilidades:
i). La serie converge en su centro a . En este caso, R=O.
ii). La serie converge para toda xque satisfaga |x-a|<R, donde R>0. La serie diverge para|x-a|>R.
iii). La serie converge para toda x. En este caso, R=∞.
Una serie de potencias define a una función
Para una función dada se puede escribir
fx=n=0∞cn(x-a)n=co+ c1x-a+c2(x-a)2+c3(x-a)3+…..
Determinación del radio de convergencia de una serie
Para muchas series de potencia su radio de convergencia puede serdeterminado aplicando el criterio de D’Alembert o el criterio de la raíz de Cauchy.
Sea la serie
Siendo y cuya serie de los módulos es

Si el limite entonces
Para el caso en sea tal que el limite existe entonces el radio de convergencia de dicha serie aplicándole criterio de la raíz se obtiene de la forma
Si el límite no existe no pueden aplicarse las fórmulas obtenidas
Soluciónmediante series de potencias en el entorno de un punto ordinario
Se va a considerar el caso de la ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden :

ó en forma canónica :



Definiciones

Un punto x0 se llama punto ordinario si las funciones y son analíticas en x0 (es decir, si p(x) y q(x) tienen desarrollos en serie de Taylor en torno a x0 con radios respectivos de convergenciaR1 y R2 no nulos)

Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x0 es punto ordinario si y sólo si P(x0) 0 (siendo no simplificable).

Si x0 no es punto ordinario, se llama punto singular de la ecuación.
Teorema:

Si x0 es un punto ordinario de 1 ( ó 1’ ) entonces la solución general de 1 en un cierto entorno de x0 puede escribirse en la forma 2 y a su vez :

Siendo a0 , a1ctes arbitrarias e y1(x), y2(x) analíticas en un entorno I de x0, y linealmente independientes en I.

El radio de convergencia de las series y1(x) e y2(x) es al menos tan grande como el mínimo de los radios de convergencia de los desarrollos en serie de p(x) y q(x) en torno a x0 (es decir, al menos igual a la distancia de x0 al punto singular más próximo de la ecuación 1, sea dicho punto realo complejo)

Los coeficientes an de la serie 2 se obtienen en términos de a0 y a1 , sustituyendo la serie genérica en 1, (así como los desarrollos de p(x) y q(x) si P(x), Q(x), R(x) no son polinomios) y procediendo por coeficientes indeterminados.

Observaciones:

a) La serie solución puede converger con radio mayor que el indicado en el teorema.

b) Si el punto ordinario es x0 0,pueden simplificarse las notaciones trasladando x0 al origen, mediante el cambio x - x0 = t.

c) Según el teorema de existencia y unicidad, cada solución está determinada de manera única por los valores y(x0) e y’(x0), es decir por a0 y a1 . Por eso, todos los coeficientes se obtienen en términos de a0 y a1.

d) El método para resolver una ecuación completa : , siendo x0 punto ordinario yh(x) analítica en x0, es análogo. En este caso, también hay que desarrollar h(x) en serie de potencias en torno a x0 , antes de proceder por coeficientes indeterminados. También podría resolverse en primer lugar la ecuación homogénea y actuar luego por variación de constantes, o por reducción de orden.

e) Es claro que podría usarse un método semejante para ecuaciones diferenciales lineales, de...