Recupera700

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CALCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL I
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EVALUACION DE RECUPERACION
E0700
2-MAYO-2001, 13 H
x2 − 3
, determinar:
(1) Dada la funci´on definida por f (x) =
x3
Intervalos de crecimiento y de decrecimiento; m´aximos y m´ınimos locales; intervalos de concavidad hacia
arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de inflexi´on; as´ıntotas verticales y as´ıntotas horizontales. A
partir del an´alisisanterior, hacer un esbozo de la gr´afica de f .
(2) Un trozo de alambre de 10 m de largo, se corta en dos partes; una se dobla para formar un cuadrado y la
otra para formar un tri´angulo equil´atero. ¿Cu´anto debe medir cada parte para que el ´area total encerrada
sea: (a) m´axima, (b) m´ınima?
(3) De acuerdo con la teor´ıa de la relatividad, la masa m de un objeto que viaja a una velocidad v, est´adada
por
m0
m=
,
v2
1− 2
c
donde m0 es la masa del objeto en reposo y c es la velocidad de la luz.
(a) Explicar qu´e ocurre cuando v se acerca a la velocidad de la luz
(b) Explicar por qu´e s´olo tiene sentido calcular l´ım− m
v→c

(4) Un incendio forestal se extiende en forma circular, con un radio que aumenta con una rapidez de 5 pies/min.
¿Con qu´e rapidez est´a cambiando el ´area incendiada,cuando el radio es de 200 pies? ¿Est´a aumentando
o disminuyendo?
(5) Sea f : R → R una funci´on continua en R cuya primera derivada f tiene la siguiente gr´afica:
f (x)

•

◦
1

•
−2 −1

•
2

x
3

A partir de esta gr´afica de f , determinar d´onde la funci´on f es creciente y d´onde es decreciente. Explicar
adem´as, c´omo es la tangente a la gr´afica de f en x = −2, x = −1, x = 2 & x = 3.canek.azc.uam.mx: 2/ 3/ 2006.
1

´ DE RECUPERACION
´ E0700
EVALUACION

2

Respuestas
x2 − 3
(1) Dada la funci´on definida por f (x) =
, determinar:
x3
Intervalos de crecimiento y de decrecimiento; m´aximos y m´ınimos locales; intervalos de concavidad hacia
arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de inflexi´on; as´ıntotas verticales y as´ıntotas horizontales. A
partir del an´alisis anterior, hacer unesbozo de la gr´afica de f .
Dominio: Df = R − { 0 }.
Ra´ıces o ceros de f (x)
x2 − 3 = 0 ⇔ x2 = 3 ⇔ | x | =

√
√
3 ⇔ x = ± 3.

Podemos escribir
f (x) =

1
3
− 3 = x−1 − 3x−3 .
x x

Derivamos
f (x) = −x−2 + 9x−4 = −

1
9
−x2 + 9
+
=
x2 x4
x4

(*)

y de aqu´ı calculamos los puntos cr´ıticos:
f (x) = 0 ⇔ −x2 + 9 = 0 ⇔ x2 = 9 ⇔ | x | = 3 ⇔ x = ±3.
El signo de la derivada viene dado por la expresi´on −(x2− 9) = −(x + 3)(x − 3). Usamos entonces la tabla
Signo de
Intervalo

− x + 3 x − 3 −(x + 3)(x − 3)

x < −3 (< 3) −

−

−

−

−

+

−

+

x > 3 (> −3) −

+

+

−

−3 < x < 3

Vemos entonces que
f (x) es decreciente para x ∈ (−∞, −3) y para x ∈ (3, +∞);
f (x) es creciente para x ∈ (−3, 0) y para x ∈ (0, 3).
Con estos datos concluimos que
x = −3 es un m´ınimo local;
x = 3 es un m´aximo local.
Paracalcular la segunda derivada, derivamos (∗):
f (x) = 2x−3 − 36x−5 =

2
36
2x2 − 36
−
=
.
x3 x5
x5

Para calcular los puntos de inflexi´on
√
f (x) = 0 ⇔ 2(x2 − 18) = 0 ⇔ x2 − 18 = 0 ⇔ x = ±3 2.
La segunda derivada se factoriza entonces
√
√
(x + 3 2)(x − 3 2)
.
f (x) = 2
x5

´ DE RECUPERACION
´ E0700
EVALUACION

3

√
√
El signo de la segunda derivada viene dado por x + 3 2, x − 3 2 & x. Usamos latabla para conocer el
signo de f (x)
Signo de
√
√
x + 3 2 x x − 3 2 f (x)

Intervalo
√
√
x < −3 2 (< 0 < 3 2)
√
√
−3 2 < x < 0 (< 3 2)
√
√
(−3 2) < 0 < x < 3 2
√
√
x > 3 2 (> 0 > −3 2)

−

−

−

−

+

−

−

+

+

+

−

−

+

+

+

+

Vemos entonces que
√
f (x) es c´oncava hacia abajo para x ∈ −∞, −3 2
√
f (x) es c´oncava hacia arriba para x ∈ −3 2, 0
Con estos
que
√
√ datos concluimos
x = −3 2 & x =−3 2 son puntos de inflexi´on.
Calculamos
l´ım f (x) = l´ım

x→±∞

√
0, 3 2 ;
√
3 2, +∞ .

x→±∞

x2 − 3
= 0± .
x3

Por lo tanto, y = 0 es una as´ıntota horizontal.
Vemos claramente que una as´ıntota vertical es x = 0. Calculamos los siguiente l´ımites para ver los
comportamientos laterales de la funci´on en este caso

l´ım− f (x) = “

x→0

l´ım+ f (x) = “

x→0

−3
0−
−3
0+

”

= +∞;

”

= −∞....