Redes Bayesianas

7. 4. REDES BAYESIANAS.
1. Presentación intuitiva 2. Definición formal de red bayesiana - Algoritmo para comprobar independencias 3. Algoritmo de propagación de probabilidades en árboles 4. Evidencia virtual

1. Presentación intuitiva1.
Antes de presentar formalmente la teoría matemática de las redes bayesianas, explicaremos mediante ejemplos sencillos el significado intuitivo de losconceptos que después introduciremos. En una red bayesiana, cada nodo corresponde a una variable, que a su vez representa una entidad del mundo real. Por tanto, de aquí en adelante hablaremos indistintamente de nodos y variables, y los denotaremos con letras mayúsculas, como X. Utilizaremos la misma letra en minúscula, x, para referirnos a un valor cualquiera de la variable X. Los arcos que unen los nodosindican relaciones de influencia causal. Ejemplo 1. La red bayesiana no trivial más simple que podemos imaginar consta de dos variables, que llamaremos X e Y1, y un arco desde la primera hasta la segunda.
X Y1

Para concretar el ejemplo, supongamos que X representa paludismo e Y1 representa gota gruesa, que es la prueba más habitual para detectar la presencia de dicha enfermedad. Cuando X seauna variable binaria, denotaremos por +x la presencia de aquello a lo que representa y por ¬x a su ausencia. Así, por ejemplo en este caso +x significará “el paciente tiene paludismo” y ¬x “el paciente no tiene paludismo; +y1 significará un resultado positivo del test de la gota gruesa y ¬ y1 un resultado negativo. La información cuantitativa de una red bayesiana viene dada por: − La probabilidada priori de los nodos que no tienen padres. − La probabilidad condicionada de los nodos con padres. Por tanto, en nuestro ejemplo, los datos que debemos conocer son P(x) y P(y1/x). Así, la red bayesiana completa sería:
X
P(+x) = 0.003

Y1
P(+y1/+x)= 0.992 P(+y1/¬x)= 0.0006

Esta presentación intuitiva está tomada de los Apuntes de razonamiento aproximado de Francisco Javier Díez.

1Veamos qué significado tienen en este caso estos valores:
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P(+x) = 0.003 indica que, a priori, un 0.3% de la población padece el paludismo. En medicina, esto se conoce como prevalencia de la enfermedad. P(+y1/+x) = 0.992 indica que cuando hay paludismo, el test de la gota gruesa da positivo en el 99.2% de los casos. Esto se conoce como sensibilidad del test. P(+y1/¬x) = 0.0006 indica quecuando no hay paludismo, el test de la gota gruesa da positivo en el 0.06% de los casos, y negativo en el 99.94%.A esta segunda probabilidad se la llama especificidad del test.

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En medicina siempre se buscan las pruebas con mayor grado de sensibilidad y especificidad. Conociendo estos datos, podemos calcular: a) La probabilidad a priori de Y1, P(+y1) = P(+y1/+x) P(+x) + P(+y1/¬x) P(¬x) =0.00357. P(¬y1) = P(¬y1/+x) P(+x) + P(¬y1/¬x) P(¬x) = 0.99643. b) Las probabilidades a posteriori dada una evidencia observada e, P*(x) = P(x/e). Supongamos que el test de la gota gruesa ha dado positivo. ¿Qué probabilidad hay ahora de que la persona padezca la enfermedad?. Si la prueba tuviese fiabilidad absoluta, esta probabilidad sería del 100%. Pero como existe la posibilidad de que haya habidoun falso positivo, buscamos P*(+x) = P(+x/+y1). Para calcularla, podemos aplicar el teorema de Bayes: P*(+x) = P(+x/+y1) =
P(+x) P(+y1 / + x) 0.003 0.992 = = 0.83263 P( + y1 ) 0.00357

Es decir, de acuerdo con el resultado de la prueba, hay un 83,2% de probabilidad de que el paciente tenga paludismo. De la misma forma podríamos calcular P(¬x): P*(¬x) = P(¬x/+y1) =
P( ¬x) P(+y1 / ¬x) 0.9970.0006 = = 0.16737 P( + y1 ) 0.00357

Que, por supuesto, es la probabilidad complementaria. La expresión general del teorema de Bayes que hemos utilizado es: P*(x) = P(x/y) =
P(x) P(y / x) P(y)

Por razones que quedarán claras más adelante, vamos a reescribirla como; P*(x) = α P(x) λ Y1 (x) Donde α = [P(y)]-1 y λ Y1 (x) = P(y/x).

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Con la fórmula expresada de esta forma, queda claro que...