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Ajuste de curvas

La formula de interpolación de Lagrange.

Teorema Dados n+1 puntos (xi; yi) (i = 1; 2;……; n+1) de un problema de interpolación, existe unúnico polinomio p de grado menor o igual que n tal que p(xi) = yi para todo
i = 1; 2;……;n + 1. Dicho polinomio p viene dado por
p(x) =
nX+1
i=1
yiLi(x); (formulade interpolación de Lagrange)
donde Li(x) viene dado por








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3.1. MÉTODO DIRECTO
Si (xi,f(xi)) para i= 0, 1, 2,...n, denotan los n + 1 puntos dados, entonces se busca un polinomio de la forma:
P(x) = anxn + an-1xn-1+ ... + a1x + a0........... (1)
Puestoque P(x) debe pasar por los puntos, se tienen n + 1 ecuaciones algebraicas lineales P(xi) = f(xi) para los n + 1 coeficientes desconocidos ai de P(x). Las ecuacionesson:

Este sistema se puede escribir como:
(2)
ó

El sistema tiene una solución única para las incógnitas ai, i=0, 1, 2, ..., n si y sólo si el determinante delos coeficientes de las incógnitas es distinto de cero, es decir D 0 donde



D se conoce como determinante de Vandermonde y es distinto de cero cuando los xison distintos. Luego el sistema tiene solución única y esto muestra que solamente existe un único1 polinomio P tal que P(xi) = f(xi), i = 0, 1, 2,..., n.
Confrecuencia la matriz de Vandermonde está mal condicionada y por tal razón los coeficientes ai del polinomio podrían no quedar determinados con precisión cuando seresuelva el sistema (2). Además la cantidad de trabajo invertida en la obtención del polinomio (1) resulta excesiva por lo tanto no se recomienda este enfoque.