Regresión lineal simple y múltiple

ÍNDICE


INTRODUCCIÓN

El análisis de regresión lineal es una técnica estadística utilizada para estudiar la relación entre variables. Se adapta a una amplia variedad de situaciones. En la investigación social, el análisis de regresión se utiliza para predecir un amplio rango de fenómenos, desde medidas económicas hasta diferentes aspectos del comportamiento humano. En el contexto de lainvestigación de mercados puede utilizarse para determinar en cuál de diferentes medios de comunicación puede resultar más eficaz invertir; o para predecir el número de ventas de un determinado producto.
Tanto en el caso de dos variables (regresión simple) como en el de más de dos variables (regresión múltiple), el análisis de regresión lineal puede utilizarse para explorar y cuantificar la relaciónentre una variable llamada dependiente o criterio (Y) y una o más variables llamadas independientes o predictoras , así como para desarrollar una ecuación lineal con fines predictivos. Además, el análisis de regresión lleva asociado una serie de procedimientos de diagnóstico (análisis de los residuos, puntos de influencia) que informan sobre la estabilidad e idónea del análisis y que proporcionanpistas sobre cómo perfeccionarlo.
Nuestro objetivo es el de proporcionar los fundamentos del análisis de regresión. Al igual que en los capítulos procedentes, no haremos hincapié en los aspectos más técnicos del análisis, sino lineal, y cómo interpretar los resultaos. También prestaremos atención a las cuestiones como en chequeo de los supuestos del análisis de regresión y la forma de procedescuando se incumplen.

1. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Y MÚLTIPLE
1.1 Regresión lineal simple
Sean dos variables X y Y, suponga que se quiere explicar el comportamiento de Y con base en los valores que toma X. Para esto, se mide el valor de Y sobre un conjunto de n valores de X, con lo que se obtienen n parejas de puntos . A Y se le llama la variable dependiente o la variable de respuesta y a X se leconoce como variable independiente o variable regresora. La variable X no necesariamente es aleatoria, ya que en muchas ocasiones el investigador fija sus valores; en cambio, Y sí es una variable aleatoria. Una manera de estudiar el comportamiento de Y con respecto a X es mediante un modelo de regresión que consiste en ajustar un modelo matemático de la forma:

a las n parejas de puntos. Conello, se puede ver si dado un valor de la variable independiente X es posible predecir el valor promedio de Y.
Suponga que las variables X y Y están relacionadas linealmente y que para cada valor de X, la variable dependiente, Y, es una variable aleatoria. Es decir, que dada observación de Y puede ser descrita por el modelo:

donde ε es un error aleatorio con media cero y varianza . Tambiénsuponga que los errores aleatorios no están correlacionados. La ecuación anterior es conocida como el modelo de regresión simple. Bajo el supuesto de que este modelo es adecuado y como el valor esperado del error es cero, , se puede ver que el valor esperado de la variable Y, para cada valor de X, está dado por línea recta

en donde y son los parámetros del modelo y son constantes desconocidas. Porlo tanto, para tener bien especificada la ecuación que relaciona las dos variables será necesario estimar los dos parámetros, que tienen los siguientes significados: es el punto por el cual la línea recta intercepta o cruza con el eje y, y es la pendiente de la línea, es decir, es la cantidad en que se incrementa o disminuye la variable Y por cada unidad que se incrementa X.
Un procedimientopara ajustar la mejor recta, y por tanto para estimar y es mediante el método de mínimos cuadrados, utilizando las siguientes ecuaciones:

donde son las medias muestrales de las dos variables. La ecuación sirve para estimar la resistencia promedio esperada para cualquier porcentaje, la diferencia entre lo observado y lo estimado es una estimación del error

Se utilizan los residuos para...