Relacion matematikas

1) Relación matemática
Una relación [pic], de los conjuntos [pic]es un subconjunto del producto cartesiano
[pic]
Una Relación binaria es una relación entre dos conjuntos. El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas.
[pic]
Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: [pic]eneste caso se representa [pic]como [pic], pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.
[pic]

Tipos de relaciones

En las relaciones se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de términos de la relación:
Relación unaria: un solo conjunto [pic]
Relación binaria: con dos conjuntos [pic]
Relaciónternaria: con tres conjuntos [pic]
Relación cuaternaria: con cuatro conjuntos [pic]
...
Relación n-aria: caso general con n conjuntos [pic]

Partes de un par ordenado

Las partes de un par ordenado son:
Primer conjunto
Primer componente
Segundo conjunto
Segundo componente

Del siguiente par ordenado (a, b) podemos decir que:
a es el primercomponente del primer conjunto y;
b como el segundo componente del segundo conjunto.
Matemáticamente esto se expresa:
[pic]
y se lee: El producto de A con B, es el conjunto de los pares ordenados (x,y) tales que x pertenece a A y y pertenece a B.
Ejemplos de relación Definamos: A={1, 4, 6} y B={2, 3, 7}. Entonces, una relación que entre A y B es mayor que, por lo que:
R={ (6,2) (4,2)(6,3) (4,3)} [pic]

2) Función matemática
Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento [pic]con un (y sólo un) [pic]se denota [pic], en lugar de [pic]
Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:
|Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionadoscon elementos de Y, es decir, [pic] |
|Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si [pic] |

Notación y nomenclatura

Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por [pic]o [pic]. A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por
[pic]o codomf
Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.
Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotadopor f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por [pic]o [pic]o [pic].
[pic]
Una preimagen de un [pic]es algún [pic]tal que [pic].
Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cadaelemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.

Ejemplos

• La función definida por [pic], tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales [pic]
[pic]
Función con Dominio X y Rango Y
• Para la función [pic]tal que [pic], en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a [pic], sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞que sean el cuadrado de un número real.
• En la figura se puede apreciar una función [pic], con
[pic]
[pic]
Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,
[pic]
Esta función representada como relación, queda: [pic]

Igualdad de funciones...