matematik

Ecuaciones lineales: teoría básica
Un problema de valor inicial de
n-ésimo
orden consiste en resolver la EDO lineal:
sujeta a las n condiciones iniciales
:
Resolverlo consiste en encontrar una función
y(x) en definida en un intervalo I que contiene a
x0 , donde se cumplen la ecuación y las
condiciones iniciales.
)()( )()()(
1
1
0
1
1 xgyxa dxdy xa dx
d
xa
dx
yd xa
n
nn
n
n
n
+ =+++
−
−
−
"
0
1
)1(
1000 )(,,)(,)(
−
−
= ′ =
=
n
n
" yxyyxyyxy3
Existencia de una solución única
(Condición suficiente)
Sea
an
(
x),
a
n-1
(
x), …,
a0
(
x), y
g
(
x) continuas en I,
con
an
(
x)
≠ 0 para todo x de I. Si x = x0 es
cualquier punto de este intervalo, entonces existe
una solución
y
(
x) del problema anterior en I yes
única.
•Ejemplo:
posee la solución trivial y(x) = 0. Como es una ED de tercer
orden lineal con coeficientes constantes, y(x) = 0 es la única
solución en cualquier intervalo que contenga a x = 1.
y
′′′
+
y′′ +
y′ +
y
=
y
=
y′ =
y′′ = 0)1(,0)1(,0)1(,07534
• Ejemplo: Comprueba que y = 3e2x + e–2x – 3x es la
única solución de
La ED es lineal, los coeficientes y g(x) sontodos
funciones continuas, y a2 (x) = 1 es distinto de 0 en
cualquier intervalo que contenga x = 0. La solución
propuesta cumple la EDO y es única en I.
− yy = x = yy =1)0(',4)0(,124"
Comprueba que y = cx2 + x + 3 es solución del PVI:
en toda la recta real. Este PVI tiene infinitas soluciones. Observa que el
coeficiente de la derivada a2 (x) = x2 más alta se hace cero en x = 0 y esepunto necesariamente tiene que estar incluido en I porque lo imponen las
condiciones iniciales.
1)0(,3)0(,622 2 ′′ − ′ =+ = yyyyyx ′ =5
Problemas de valores en la frontera
• Resolver:
sujeta a :
se llama problema de valor
en la frontera
(PVF) y a las
restricciones se conocen
como condiciones de contorno
o condiciones en la frontera
.
Nota: Las condiciones de contorno
pueden sertambién sobre las derivadas.
)()()()( 2
1
0
2
2 xgyxa dxdy xa dxyd xa =++
0
1
y
a
=
y
y
b)(,)(
=
y6
Vimos que x = c1 cos 4t + c2 sin 4t era solución de
(a) Supongamos el PVF
Si x(0) = 0, entonces c1 = 0, y x(t) = c2 sen 4t.
Si x(π/2) = 0, obtenemos 0 = 0 independientemente
de c2 . De modo que tenemos infinitas soluciones.
(b) Si
tenemos que c1 = 0, c2 = 0:
x(t) = 0,solución única.
x + x = 016"
0
2 ,0)0(,016 ⎟ =⎠⎞ ⎜⎝⎛ ′′ ==+ π xxxx
0
8 ,0)0(,016 ⎟ =⎠⎞ ⎜⎝⎛ ′′ ==+ π xxxx
(c) Si
tenemos que c1 = 0, y 1 = 0
(contradicción). No hay solución.
1
2 ,0)0(,016 ⎟ =⎠⎞ ⎜⎝⎛ ′′ ==+ π xxxx7
La siguiente EDO lineal de orden
n:
se dice que es no homogénea.
si
g
(
x) = 0 la ecuación es homogénea.
Veremos que para resolver una ecuación no
homogénea tendremosque resolver también la
ecuación homogénea asociada.
)()( 0)()( 1 1 0
1
+ 1 =+++
−
−
− yxa dxdy xa dx yd xa dxyd xa
n
n
n
n
n
n
"
)()( )()()( 1 1 0
1
1 xgyxa dxdy xa dx yd xa dxyd xa
n
n
n
n
n
n
+ =+++
−
−
−
"8
• Sea Dy = dy/dx. Al símbolo D se le llama operador
diferencial. Definimos a un operador diferencial de
n-ésimo orden u operador polinominal como
• Eloperador diferencial L es un operador lineal:
Podemos escribir las EDOs anteriores simplemente
como
L(y) = 0 y L(y) = g(x)
Operadores diferenciales
)()( )()(1 0 1 1 DxaDxaL xaDxa n n n n += +++ − − "
L αf x + βg x = αL f x + βL g x))(())(()}()({9
Principio de superposición
(ecuaciones homogéneas)
Sean
y1 ,
y2 , …,
yk soluciones de una ecuación
diferencial homogénea de
n-ésimoorden en un
intervalo
I. Entonces la combinación lineal
y = c1 y1
(
x) +
c2 y2
(
x) + …+
ck yk
(
x
)
donde
ci , i = 1, 2, …, k, son constantes arbitrarias,
también es una solución en el intervalo.
Nota:
(A) y(x) = cy1 (x) también es solución si
y1 (x) es una solución.
(B) Una ED lineal homogénea siempre posee la solución trivial y(x) = 0.
Ejemplo: Las funciones
y1...