Resortes acoplados

AplicacionesPasemos a describir algunas aplicaciones elementales donde intervienen sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Las soluciones de los problemas que veremos se pueden obtener tantopor el mhodo de la sección 4.8 como con la transformada de Laplace.
Resortes acopladosDos masas, m1 y mz, están unidas a dos resortes, A y B, de masa insignificante cuyas constantes de resorte son kly k2, respectivamente, y los resortes se fijan como se ve en la figura 7.5. Sean XI(~) y xz(t) los desplazamientos verticales de las masas respecto a sus posiciones de equilibrio. Cuando el sistemaestá en movimiento, el resorte B que& sometido a alargamiento y a compresión, a la vez; por lo tanto, su alargamiento neto es x2 - xl. Entonces, según la ley de Hooke, vemos que los resortes A y Bejercen las fuerzas -klxl
Y ~2@2 -XI), respectivamente, sobre ml. Si no se aplican fuerzas externas al sistema, y en ausencia de fuerza de amortiguamiento, la fuerza neta sobre ml es 41x1 + kz(xz -XI). De acuerdo con la segunda ley de Newton podemos escribir

De igual forma, la fuerza neta ejercida sobre la masa rn2 sólo se debe al alargamiento neto de B; esto es, -&(x2 - XI). Enconsecuencia, d2xz _ m2 dt2- - -kZ(XZ - XI).
En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa con el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden mlx;) = -klxl + k2(xz -xl) m2x;’ = - 4x2 - XI).(5)
En el próximo ejemplo resolveremos ese sistema suponiendo que RI = 6, kz = 4, rnl = 1, m2 = 1, y que las masas parten de sus posiciones de equilibrio con velocidadesunitarias opuestas.

FIGURA 7.5
Sección 7.7 Sistemas de ecuaciones lineales357
Resortes acoplados
Resuelvax;’ + 10x1- 4x2 = 0(6) -4x1 + xp + 4x2 = 0
SOLUCIÓNLa transformada de Laplace de cadaecuación es s2X1(s) - SXl(0) - xi(O) + lOX,(S) - 4X*(S) = 0 -4x,(S) + s’&(S) - SX2(0) - X;(o) + 4&(S) = 0, en donde XI(s) = Ce {xi(t)} y XZ(S) = Z{x#)}. El sistema anterior equivale a
(s2 +...