Resueltosintegrales

Ejercicios de Integrales resueltos
1. Resuelve la integral:



Ln x
dx
1 x

SOLUCIÓN

Ln x
dx
1 x
Ln x  u  dx  du



x
Aplicamos partes: 

dx
 dv  v  2 1  x 

 1  x

Llamemos I 



I  2 1  x Ln x  2 
2

1 x
dx
x

1  x  t 2 
1 x
t2
t t
dx  
dt

4
 4 
 1 t 2 dt 
x
1  t2
dx  2tdt


 4 1

1 
dt
dt
2  dt  4  dt  4
2  4t  4
1t
1t
1  t2
A
1
1
B
 1
1  t 2  1  t  1  t  A(1  t)  B(1  t)  1  A  2 ; B  2

dt
dt
dt
 2 
 2
 2Ln 1 t  2Ln1  t  C

4 
2
 1  t
1 t
1t
Deshaciendo los cambios de variable:

I  2 1  xLnx  4 1  x  2Ln1  1 x  2Ln1  1  x  C

I  2 1  xLnx  4 1  x  2Ln



1 1x
1 1x

 C

1 1 x
Ln x

dx  2 1 x Lnx  4 1 x  2Ln
C
11 x
1 x

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2. Resuelve la integral:
1  sen x  cos x

 1  sen x  cos x dx
SOLUCIÓN
Sea I 

1  sen x  cos x

 1  sen x  cos x dx .

entonces dx 

Hacemos el cambio de variable: tg x 2  t

2dt
2t
1  t2
;
sen
x

;
cos
x

con lo que la integral dada
2
1  t2
1  t2
1 t

se transforma en:2t
1  t2

1- t
1  t 2 1  t 2  2dt  2  2t  2dt = 2
I
ò t (t +1)(1 + t 2 )dt =
2t
1  t 2 1 + t 2  2t 2  2t 1+ t 2
1

1  t2 1  t2
1

 2

dt
dt
2  2
t  11  t 2 
t t  11  t 

Podemos descomponer en fracciones simples cada integrando es decir:

1
B
Mt  N 
A


2 
1 t 2
t t  11 t  t t  1

Poniendo denominador común, obtenemos que:

1 = At  11  t 2 Bt1  t 2  Mt  N t t  1

Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado obtenemos el

1
1
1
;M ; N 
2
2
2
1
C
Dt  E
Por otra parte tendremos:


t  11 t 2  t  1 1  t 2

siguiente resultado: A  1 ; B  

Poniendo denominador común, obtenemos que:

1  C1  t 2  Dt  E t  1

Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado obtenemos elsiguiente resultado: C 

1
1
1
; D=  ; E 
2
2
2

La integral original se puede descomponer como:

é dt 1
é1
dt
dt
1 t +1 ù
1 1- t ù
ú
ê
- ò
+
2
I = 2 êò - ò
dt
2
ò
ò 2 dt ú =
ëê t 2 t + 1 2 1 + t
ûú
ëê 2 t + 1 2 1 + t ûú
1
1
2 Ln t - Ln t +1 - Ln 1 + t 2 - arc.tagt - Ln t +1 + Ln 1 + t 2 - arc.tagt + C =
2
2
= 2 Ln t - 2 Ln t + 1 - 2arc.tagt + C
Deshacemos el cambio de variable realizado, tg x 2  t ,obteniendo:
tg x 2
I  2Ln
x C
1  tg x 2

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3. Resuelve la integral:
dx
4

x

2

x

dx
dx

4
(x  2)(x  2)

SOLUCIÓN

2

Utilizaremos el método de descomposición en fracciones simples:

1
A
B
A(x  2)  B(x  2)



(x  2)(x  2) x  2 x  2
(x  2)(x  2)
Igualando los numeradores: 1 A(x  2)  B(x  2) , y dando a x los valores de
las raíces reales del denominador, se obtienen valores para A y B:

x 2 B

1
1
, x  2  A  
4
4

Luego, aplicando propiedades elementales de integración:

x

dx
1/ 4
1
1
1/ 4

dx  
dx   Log x  2  Log x  2  C
4
4
4
x2
x 2

2

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4.Obtener una primitiva de la función:
y

x2
x x 2  1
2

SOLUCIÓN
Descomponiendo

x 2
en fracciones simples:
x x 2  1
2

x 2
A B
C
D
  2


2
x  1 x 1
x x  1 x x
2

x  2  Ax(x  1)(x  1)  B(x  1)(x  1)  Cx 2 (x  1)  Dx 2 (x  1)
Resolvemos la ecuación anterior:
Si x  0  2   B  B  2 . Si x  1  3  2D  D  3 2 .
Si x   1  1   2C  C   1 2 . Si x  2  6A  6  A  1
Por lo tanto:



3
 12
x 2
1
2
dx

dx

dx

dx

2
2
x
 x2
 x  1  x 21 dx
x x  1

Las integrales resultantes son inmediatas por lo que:

x 2
2 1
3
dx   Ln x   Ln x  1  Ln x  1  C , es decir:
2
 1
x 2
2

 x x
2

3

ò

x -1
x+2
2
1
+C
dx = - Ln x + Ln
2
2
x
2
x +1
x ( x -1)

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