Resumen de calculo

Matem´tica Vol. 2 del Prof. Pedro Valenzuela (PH)
a
Resumido por Armin L¨er Villagra (Ayudante)
u
16 de agosto de 2006

Este documento no fue concebido para tener precisi´n matem´tica, sino para ayudar como un
o
a
“ayuda-memoria” para los alumnos. Cualquier error o sugerencia, comunicarse con el autor.

1.

Integral Indefinida

1.1.

df [g (x)] = f (g (x)) · g (x) dx
dn y = f (n)(x) dxn

Diferencial

dn y
= f (n) (x)
dxn

Incrementos:
• ∆x = x2 − x1

1.2.

• ∆y = f (x2 ) − f (x1 )

Integral Indefinida
F primitiva o antiderivada de f si F (x) =
f (x)

Recta tangente: y − f (x0 ) = f (x0 ) (x − x0 )
Aproximaci´n: f (x0 + ∆) ≈ f (x0 ) + f (x0 ) ·
o
∆x

F (x) + C =

f (x) dx

Diferenciales:
1.2.1.

• dx = ∆x
• dy = f (x) dx
1.1.1.

•Propiedades de la diferencial

Integrales Inmediatas
dx = x + C
xn+1
+C
n+1

•

xn dx =

d (uv) = u · dv + v · du

•

1
dx = ln x + C
x

u
v · du − u · dv
=
v
v2

•

cos x dx = sen x + C

d (u ± v) = du ± dv

d

1

•

sen x dx = − cos x + C

•

•

tan x dx = − ln (cos x) + C

•

•
•

√

dx
x
1
= · arc tg + C
2
+a
a
a
dx
x
= arc sen
+C
2a
−x

a2

ex dx = ex + C
ax
a dx =
+C
ln a

x2

1.2.2.

Propiedades

x

f (x) dx

= f (x)

2

•
•

csc2 x dx = − cot x + C

k · f (x) dx = k ·

•

sec x dx = ln (sec x + tan x) + C

(f (x) ± g (x))

•

1.3.

sec x dx = tan x + C

csc x dx = − ln (csc x + cot x) + C

g (x) dx

dx

f (x) dx

=

f (x)

dx ±

T´cnicas de Integraci´n
e
o1.3.1.

M´todo de Sustituci´n
e
o

Sea f funci´n de una variable t. Sea t = ψ (x), entonces:
o
f (t) dt =
1.3.2.

f (ψ (x)) ψ (x) dx

Integrales Trigonom´tricas
e

De la forma

R (sen x, cos x) dx. Se usa la sustituci´n tan
o
sen x =

2t
;
1 + t2

cos x =

1 − t2
;
1 + t2

x
2

= t. Se hacen los reemplazos:
dx =

2 dt
1 + t2

Si adem´s R (sen x, cos x) = R(− sen x, − cos x), se usa la sustituci´n tan x = t , realiz´ndose los
a
o
a
reemplazos:
1
dt
t
; cos x = √
; dx =
sen x = √
2
2
1 + t2
1+t
1+t
De la forma

senm x cosn x dx.

• m o n impar. Se ocupa la identidad sen2 x + cos2 x = 1, descomponi´ndose, seg´n corresponde
e
u
como
k
senm x = sen2k+1 x = 1 − cos2 x · sen x
cosn x = cos2q+1 x = 1 − sen2 x

q

· cos xLuego se toma un t = cos x ⇒ dt = − sen x dx o bien t = sen x ⇒ dt = cos x dx, segun
corresponda.
• m y n pares. Se utilizan las identidades:
sen2 x =

1
(1 − cos 2x)
2
2

cos2 x =

1
(1 + cos 2x)
2

• m y n pares, uno de ellos negativo. Se utiliza la sustituci´n tan x = t mostrada antes, obteni´ndose
o
e
las expresiones a reemplazar:
sen2 x =
De la forma

cos mx cos nx dx,t2
;
1 + t2

cos2 x =

sen mx cos nx dx,

1
;
1 + t2

dx =

dt
1 + t2

sen mx cos mx dx. Se usan las identidades

1
(cos (m + n) x + cos (m − n) x)
2
1
sen mx cos nx = (sen (m + n) x + sen (m − n) x)
2
1
sen mx sen nx = (− cos (m + n) x + cos (m − n) x)
2
cos mx cos nx =

De la forma tanm x dx,
secm x dx,
cscm x dx
cotm x dx: Se utilizan las identidades
1 + tan2x = sec2 x y 1 + cot2 x = csc2 x. Si m = 2k + 1 se separa en f 2k · f pudi´ndose encontrar en
e
f dx una diferencial util para trabajar.
´
1.3.3.

Sustituciones trigonom´tricas
e

1.3.4.

Integraci´n por partes
o

Se utiliza la f´rmula:
o

El integrando tiene la forma de:

u dv = u · v −
a2 − b 2 x 2
a
o
´ x = cos θ
b

m
n

dx :

Usar x =

v du

a
sen θ
u seelige por su orden en la “palabra” LIATE, que
b
significan:
1. Logaritmos

a2 + b 2 x 2

2 2

b x −a

1.3.5.

2

m
n

m
n

dx : Usar x =

a
tan θ
b

2. Inversas Trigonom´tricas
e
3. Algebraicas
4. Trigonom´tricas
e

a
dx : Usar x = sec θ
b

5. Exponenciales

Fracciones Parciales

f (x)
dx con f (x) y g (x) polinomios tal que el grado del numerador
g (x)...