Resumen distribuciones

Ignacio Cascos Fern´ndez
a
Departamento de Estad´stica
ı
Universidad Carlos III de Madrid

Modelos de distribuciones discretas y continuas
Estad´
ıstica I — curso 2008–2009

1.

Distribuciones discretas

Aquellas que est´n asociadas a variables aleatorias discretas.
a
Distribuci´n degenerada. Una variable aleatoria X es degenerada en un
o
valor real a ∈ R si toma dicho valor conprobabilidad 1, es decir P (X = a) =
1, su media y varianza son entonces obvias a partir de resultados del tema
anterior,
E[X] = a ; var[X] = 0.

1.1.
1.1.1.

Proceso de Bernoulli
Modelos principales asociados al proceso de Bernoulli

Distribuci´n de Bernoulli, B(1, p). Una variable aleatoria X sigue diso
tribuci´n de Bernoulli de par´metro p ∈ (0, 1) y se denota X ∼ B(1, p) si
o
adescribe el n´mero de ´xitos en una realizaci´n de un experimento que tieu
e
o
ne probabilidad de ´xito p (probabilidad de fracaso 1 − p). Toma valores en
e
{0, 1}.
P (X = 1) = p ; P (X = 0) = 1 − p ;
E[X] = p ;

var[X] = p(1 − p).

1

Distribuci´n Binomial, B(n, p). Una variable aleatoria X sigue distrio
buci´n Binomial de par´metros n ∈ N y p ∈ (0, 1) y se denota X ∼ B(n, p)
oa
si describe el n´mero de ´xitos en n realizaciones independientes de un exu
e
perimento que tiene probabilidad de ´xito p (probabilidad de fracaso 1 − p).
e
Puede tomar cualquier valor en {0, 1, . . . , n}.
Si k ∈ {0, 1, . . . , n}, se cumple
P (X = k) =
E[X] = np ;

n k
p (1 − p)n−k ;
k
var[X] = np(1 − p).

Propiedad. Las distribuciones binomiales son reproductivas de par´metroa
n, es decir, dadas dos variables aleatorias X ∼ B(n1 , p) e Y ∼ B(n2 , p)
independientes, se cumple X + Y ∼ B(n1 + n2 , p).
A partir de este resultado es inmediato que una variable aleatoria X ∼
B(n, p) puede descomponerse en una suma de n variables aleatorias independientes de Bernoulli de par´metro p.
a
Distribuci´n Geom´trica o de Pascal, Ge(p). Una variable aleatoria X
o
e
siguedistribuci´n Geom´trica de par´metro p ∈ (0, 1) y se denota X ∼ Ge(p)
o
e
a
si describe el n´mero de realizaciones independientes de un experimento neu
cesarias hasta obtener el primer ´xito, siendo p la probabilidad de ´xito en
e
e
una realizaci´n del experimento (probabilidad de fracaso 1−p). Puede tomar
o
como valor cualquier n´mero natural, {1, 2, . . .}.
u
Si k ∈ {1, 2, . . .}, secumple
P (X = k) = (1 − p)k−1 p ;
E[X] =
1.1.2.

1
;
p

var[X] =

1−p
.
p2

Otros modelos asociados al proceso de Bernoulli

Distribuci´n Binomial Negativa, BN(r, p). Una variable aleatoria X
o
sigue distribuci´n Binomial Negativa de par´metros r ∈ N y p ∈ (0, 1) y se
o
a
denota X ∼ BN(r, p) si describe el n´mero de fracasos de un experimento
u
antes del r-´simo ´xito, siendolas realizaciones del experimento indepene
e
dientes y en cada una de ellas p la probabilidad de ´xito (probabilidad de
e
2

fracaso 1 − p). Puede tomar cualquier valor entero mayor o igual que cero,
{0, 1, 2, . . .}.
Si k ∈ {0, 1, 2, . . .}, se cumple
P (X = k) =
E[X] =

r+k−1 r
p (1 − p)k ;
r−1

r(1 − p)
;
p

var[X] =

r(1 − p)
.
p2

Distribuci´n Hipergeom´trica, H(N,n, D/N ). Una variable aleatoria
o
e
X sigue distribuci´n Hipergeom´trica de par´metros N ∈ N, n ∈ N con
o
e
a
n ≤ N y D/N con D ∈ N, D ≤ N y se denota X ∼ H(N, n, D/N ) si
describe el n´mero de individuos que tienen una cierta caracter´
u
ıstica en n
observaciones sin reemplazamiento en una poblaci´n de N individuos de entre
o
los que D tienen la caracter´
ıstica (N − D no tienenla caracter´
ıstica). Puede
tomar cualquier valor entero mayor o igual que m´x{0, n + D − N } y menor
a
o igual que m´
ın{n, D}.
Si m´x{0, n + D − N } ≤ k ≤ m´
a
ın{n, D}, se cumple
D
k

P (X = k) =
E[X] = n

1.2.

D
;
N

var[X] = n ×

N −D
n−k
N
n

;

D N −D N −n
×
×
.
N
N
N −1

Proceso de Poisson

Distribuci´n de Poisson, P(λ). Una variable aleatoria X...