Resumen metodos de integracios

Taller Calculo Integral

TALLER CALCULO INTEGRAL
1. CLASES DE INTEGRALES

2.1 Integral indefinida: No todas las funciones poseen función primitiva, ya que dada una función puede no existir otra que la tenga por derivada.

Ahora bien, cuando una función: ƒ(x), posee función primitiva: F(x), ésta no es única, sino que existen infinitas funciones primitivas: todas las que difieren deF(x) en una cantidad constante.

En efecto, si F(x) es función primitiva de ƒ(x), se verifica que: F '(x) = ƒ(x), pues bien, la función F(x) + C, donde C es un número real cualquiera, también es una función primitiva de ƒ(x), ya que:

[F(x) + C]' = [F(x)]' + [C]' = F '(x) + 0 = F '(x) = ƒ(x)

El conjunto formado por todas las funciones primitivas de una función ƒ(x) se denomina integralindefinida de ƒ(x) dx.

Ejemplo:

; ; fx dx

2.2 Integral definida: La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área dela porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

Ejemplo:
;;

2.3 Integral inmediata: Integrales inmediatas son aquellas cuyo resultado puede obtenerse mentalmente, sin más que considerar (a la inversa) las reglas de derivación.

Ejemplo:

Ejercicios:

1) = =+ c

2) = = +c

3) = +c

4) = + c

5) = =

6) = =

7) = =

2. FORMULAS BASICAS DE INTEGRALES


1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

Ejercicios:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)8)

3. METODOS DE INTEGRACION

4.4 Sustitución o cambio de variable: Este consiste, en líneas generales, en tomar una nueva variable, t, tal que x= g(t) sea una función continua y que admita función inversa: t = g-1(x)

Como de x = g(t) ⇒ dx = g'(t) · dt, sustituyendo en I = ƒ(x) dx

I = ∫ƒ(g(t)) ⋅ g'(t) dt

De esta forma se ha transformado la integral indefinida en otra,función de la nueva variable t. Si la elección de la variable t ha sido acertada, la integral resultante es más sencilla de integrar. El éxito de la integración depende, en grado considerable, de la habilidad para elegir la sustitución adecuada de la variable. Una vez obtenida la función primitiva, F(t) + C, se deshace el cambio de la variable substituyendo t = g (x).Así se tiene la integral indefinidaen función de la variable inicial x.

Ejercicios:

1)

Entonces

Luego se reemplaza

2)

Entonces

Luego se reemplaza

Ejercicios a resolver:

1)

2)

4.5 Integración por partes: Esta se divide en formula y tabulación.

3.2.1 Formula: Sean u = u(x), v = v(x) dos funciones variables en un intervalo [a,b] (o en todo R).
Como

d(u · v) = u · dv + v · du
dedonde

u · dv = d(u · v) - v · du

Integrando los dos miembros de la igualdad

∫u * dv = ∫d(u * v) − ∫v *du
∫u * dv = u * v − ∫v*du

La expresión obtenida, denominada fórmula de integración por partes, se utiliza para transformar una integral en otra. Transformación que será útil como método de integración cuando la integral del segundo miembro sea inmediata o, al menos, más sencilla quela del primer miembro.

Ejercicios:

1)

Entonces:


Luego:

=
=

2)

Entonces:

Luego:

=

Ejercicios a resolver:

1)

2)

3.2.2 Tabulación: este método consiste en hacer una tabla donde un factor tenga derivada hasta llegar a cero ,y el otro factor sea fácil de integrar.

Ejercicio:

1)

x + sen x

1 -...