Resumen

Electromagnetismo - Estática
Electricidad
Elemento
Fuente
Campo

Campo en
Distrib.
continuas

Leyes
(estática)

{

{

Forma Integral

Forma Diferencial

Gauss

Q
∯ Ē⋅d̄S = εenc
0

E conservativo

∮ Ē⋅d̄l =0

̄ E
̄= ρ
∇⋅
ε0
̄ E
̄ =0
∇×

̄ ⋅d̄l = Δ W
V B −V A =−∫A E
Q
B

Potencial

Magnetismo

I: cantidad de carga que pasa por unidad
λ densidad lineal de carga [C/m]
λ(̄r ') dl '
I d̄l , ̄I = λ ̄v
2
de tiempo = dQ/dt [C/seg=Ampere]
σ
densidad
superficial
de
carga
[C/m
]
q ' ̄v = ̄g dA , ̄
dQ ' = σ (̄r ') dS '
g =σ ̄v
g: densidad superf. de corriente [A/m]
ρ densidad volumétrica de carga [C/m3]
J̄ dV , ̄
J = ρ ̄v J: densidad volumétrica [C/m3*m/s=A/m2]
ρ( ̄r ') dV '
[T (Tesla)=N/(C m/s)=N/A m] 1
μ
̄ (̄r )= q (̄r −̄r ' )3 E
̄ (̄r )= 1 ∫ dQ ' (̄r − ̄r3 ' ) [N/C=V/m] B
E
̄ (̄r )= 0 (q v̄ )×(r̄−3̄r ' ) Gauss= 10-4 T
4π ε 0 ∥̄r − ̄r '∥
4π ε 0
4π
∥̄r − ̄r '∥
∥̄r −̄r '∥
̄
̄
̄
̄
̄
̄
λ
( ̄r ' ) dl ' R
ρ
( ̄r ' ) dV ' R
(i
̄ (̄r )=k e ∫
̄ (̄r )=k e ∭
̄ (̄r )=k m∫ d l ' 3)× R
̄ (̄r )=k m∭ ( J dV '3)× R
E
E
B
B
3
3
R
R
R
R
C
V
C
V
̄
1
̄
μ0
σ
( ̄r ' ) dS ' R
(
g
dS
')×
R
̄
k e=
̄ (̄r )=k e ∬
̄ (̄r )=k m∬
E
k m=
B
3
4π ε0
4π
R3
R
S
S
̄
̄
r: vector donde evalúo el campo
r': vector de fuente decampo, sobre el cual integro
R =̄r −̄r ' , R=∥R∥

V ( ̄r )=k e∫

dQ '
r

̄ =−∇ V
E

Trabajo = Fuerza x Dist. Potencial = Trabajo /Carga = Campo x Dist.

̄ =Q E
̄ =−Q ∇ V ( ̄r )=−∇ U ( ̄r )
F

Fuerza
Poisson

Forma Integral

Forma Diferencial

Ampere

∮ B̄⋅d̄l= μ0 I enc

̄ B
̄ = μ 0 J̄
∇×

∄ monopolo

∯ B̄⋅d̄S =0

̄ B
̄ =0
∇⋅

̄
̄ (̄r )=k m∭ J (̄r ') dV '
A
R
V

̄ × ̄A
̄ =∇
B

Potencial vectorialcon
gauge de Coulomb

̄ =q ̄v × B
̄
̄ = I d̄l × ̄B
F
F
2
̄ =− μ0 J̄ ( ∇ 2 A x =−μ0 J x , ∇ 2 A y =−μ0 J y , ∇ 2 A z=−μ0 J z )
∇ A

∇ 2 V =− ρ/ ε0

Expansión Multipolar y Momentos
Electricidad
Expansión del potencial V
Campo E del dipolo
Expansión
̄ ̄r
( p⋅r ) r
Q ̄p⋅̄r ̄r Q
̄ (̄r )≈k e − ̄p3 +3 ̄ ̄5 ̄
+
+
+⋯ E
Multipolar V ( ̄r )≈k e
5
r r3
r
r
2r

[

Momentos

]

(

Magnetismo
Expansión delpotencial A
Campo B del dipolo
m×
r
̄
̄
̄ +3 ( m⋅
̄ ̄r ) ̄r
̄ ( r̄ )≈k m
̄ ( r̄ )=k m − m
A
+⋯
B
3
5
r3
r
r

)

[

Monopolo Q: carga total
Dipolo
̄p =q d̄ (dir de - → + ) ̄p =∭V ̄r ' ρ ( r̄ ' ) dV ' [C m2]

̄ Qi , j =∭ ρ( ̄r ' ) ( 3 xi ' x j ' −r ' 2 δ i j ) dV ' [C m2]
Q/
V
xi,j= x, y o z. δij: delta de Kronecker.
̄ E fijo=0 F
̄ E var =∇ ( ̄p⋅E
̄ ) ̄τ = ̄p × E
̄ U =− ̄p⋅E
̄
Fuerzas Dip F
Cuadrup.

]

(Monopolo No existe monopolo magnético
1
m=
I∮ ̄
r ' ×d̄l '
̄ I S n̂ =I S̄ m=
̄
2

C

)

1
d m=
̄ 2 ̄r × J̄ dv

S: Área del dipolo. n̂ Normal a la corriente con mano
derecha. m en [A m2]

Dipolo

̄ B fijo =0 F
̄ B var =∇ ( m
̄ ) ̄τ = m×
̄ U =− m
̄
F
̄ ⋅B
̄ B
̄ ⋅B

Electromagnetismo en Medios Materiales
Campos

Electricidad
̄ =ε 0 E
̄ +P
̄
Desplazamiento D

̄ E
̄ =0
∇×
ρ +ρ
Leyes en ∇⋅
̄ E
̄= L PMedios
ε0

Magnetismo
̄ =B
̄ / μ 0− M
̄
Intensidad Magnética H

̄ D
̄ P
̄ = ∇×
̄
∇×
̄ D
̄ = ρ0 o ∯ D
̄ ⋅d̄S =Q L enc
∇⋅
S

̄ B
̄ = μ 0 ( J̄L+ J̄M )
∇×
̄ B
̄ =0
∇⋅

̄ H
̄ = J̄L o
∇×

Ley de Gauss en medios eléct., rotor ≠ 0

Si JM =0, Ampere en B
Fuentes

̄ × ̄P , ̄P × n̂
E: ρ L , σ L , ρ P ,σ P
D: ρ L , σ L , ∇
̄ ×D
̄ , D×
̄ n̂ .
P: ρ P ,σ P , ∇

̄ P
̄
ρ P =− ∇⋅
̄ ⋅̂n
σ P= P

B: J̄L , ḡL J̄M ,ḡM

̄ d̄l=∬ J̄L⋅d̄S
∮C H⋅
S

Ley de Ampere en medios magnéticos, pero
̄ H
̄ M
̄ =− ∇⋅
̄ = ρM (divergencia ≠ 0)
∇⋅

Si ρM =0, Ampere en H

H: J̄L , ḡL ρ M , σ M

M: J̄M , ḡM − ρ M ,−σ M

̄ M
̄ Densidades volumétrica (JM)y superficial (gM) de
J̄M = ∇×
̄ × n̂ corriente de magnetización. JL y gL densidades de
ḡM = M
n̂

Densidades volumétrica (ρP) y superficial
corriente libres. separa los medios.(σP) de carga de polarización. ρL y σL dens.
̄
Densidades volumétrica (ρM) y superficial (σM) de carga
̄
ρ
=−
∇⋅
M
M
de cargas libres. n̂ separa medios.
̄ n magnética. Funcionan como cargas magnéticas, en pares
σ M = M⋅̂
(σM polos Norte y Sur). n̂ separa los medios.
̄ = Δ ̄p / Δ v es la polarización del medio (momento
̄ = Δ m/
P
M
̄ Δv es la magnetización del medio (momento magnético por
dipolar...