RESUMENES MATEMATICAS 25 ACCESO UNED V-2

ACCESO A LA
UNIVERSIDAD
MATEMÁTICAS
VOLUMEN II

1

0 PRELIMINARES. NÚMEROS REALES
0.1 El conjunto de los número reales
La representación más común de



hace ver al conjunto como una línea recta del plano.



   , 31 , 4, 8, 2.71, 2...

Número irracional: es un número decimal infinito no periódico.

2,

 , etc…

Distancia entre dos números, dadosdos números reales a y b, se llama distancia entre ellos a la
longitud del segmento cuyos extremos son los puntos a y b.
Distancia (a,b) = |b − a|

0.2 Subconjuntos de
Intervalo cerrado [a,b] al conjunto de los números reales x,

a≤ x ≤ b.

Intervalo semicerrado [a,b) al conjunto de los números reales x, a ≤ x < b.
Intervalo semicerrado (a,b] al conjunto de los números reales x, a < x ≤ b.Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales x,

a < x < b.

Podemos decir que (a,b) = [a,b] – {a,b}
Todos los intervalos (a,b), (a,b], [a,b) y [a,b] tiene el mismo punto medio

ab
puesto que:
2

ab
ba
ab
a 
 b
2
2
2

Entorno centrado de un punto a.
Dado un número real δ > 0, se llama:




Entorno abierto centrado en a y de radio δ al intervalo(a – δ, a + δ).
Entorno abierto centrado en a y de radio δ al intervalo [a – δ, a + δ].
Entorno reducido centrado en a y de radio δ al intervalo (a – δ, a)  (a, a + δ).

2

Otra forma de definirlo es:
(a – δ, a + δ) = {x ∈

| |x − a| < δ}

[a – δ, a + δ] = {x ∈

| |x − a| ≤ δ}

Se lee: conjunto de puntos x que están a distancia del punto a menor, menor o igual, que δ
Unsubconjunto A de
es un conjunto abierto, si para cualquier punto x de A existe un entorno
centrado en x contenido en A. es decir para cada x ∈ A existe un δ > 0 tal que (x – δ, x + δ) ⊂ A.
Del conjunto de los conjuntos abiertos de se dice que es una topología para , que es lo mismo
que decir que cumplen las siguientes propiedades:




El ∅ y son conjuntos abiertos.
La unión de conjuntosabiertos es un conjunto abierto.
La intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

Un conjunto C es un conjunto cerrado de
existe A abierto tal que C =
A.

si es el complementario de un conjunto abierto, es decir si

Los conjuntos cerrados de tienen las siguientes propiedades:



A⊂

El ∅ y son conjuntos cerrados.
La unión finita de conjuntos cerrados es unconjunto cerrado.
La intersección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
es un conjunto acotado superiormente si y sólo si existe una semirrecta (−∞,b] que lo contiene;

A ⊂ (−∞,b]. Del número b se dice que es una cota superior de A.
A⊂

es un conjunto acotado inferiormente si y sólo si existe una semirrecta [a,+∞) que lo contiene;

A ⊂ [a,+∞). Del número a se dice que es una cotainferior de A.
Cuando un conjunto A está acotado inferiormente y superiormente a la vez, se dice que el conjunto A
es un conjunto acotado.
A ⊂ es un conjunto acotado si y sólo si existe un intervalo (a,b) que lo contiene. Es decir A ⊂ (a,b).

0.3 Ecuación e inecuación polinómica
0.3.1 Ecuación de primer grado
Toda ecuación de primer grado en la incógnita x se puede escribir como ax + b = 0,donde a ≠ 0. Su
b
.
solución es x 
a
La solución de una ecuación de primer grado es un único número.

3

0.3.2 Inecuación de primer grado
Las soluciones para las inecuaciones de primer grado en la incógnita x, con a > 0, son:
Para ax + b < 0, su solución es x 

b
. Es decir
a

b 

  ,
.
a 


Para ax + b ≤ 0, su solución es x 

b
. Es decir
a

b 
 ,  .
a 


Para ax + b > 0, su solución es x 

b
 b

. Es decir  ,   .
a
 a


Para ax + b ≥ 0, su solución es x 

b
 b

. Es decir  ,   .
a
 a


La solución de una inecuación de primer grado es una semirecta.

0.3.3 Ecuación de segundo grado
Toda ecuación de segundo grado en la incógnita x se puede escribir como:
ax2 + bx + c = 0, donde a...