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Fractales
Miguel Reyes

Objetivos
El objetivo que aquí nos planteamos es familiarizar a los alumnos de primer curso de Estalmat con los conjuntos fractales. El primer problema que se nos presenta es explicar qué se entiende por conjunto fractal, para lo que en principio nos podemos limitar a mostrar como ejemplos los de las siguientes figuras, que son los conjuntos de los que nos vamos aocupar más adelante.

Conjunto de Cantor

Curva de Koch

Triángulo de Sierpinski Alfombra de Sierpinski

La palabra fractal, referida a conjuntos matemáticos, apareció por primera vez en el año 1977 cuando Benoit Mandelbrot la utilizó en su libro [1] para referirse a ciertos conjuntos con todas o algunas de las siguientes propiedades: Tienen detalles a todas las escalas, entendiendo por estoque mirados a cualquier nivel de escala (zoom) manifiestan detalles ya observados a nivel global. 1

Son autosemejantes, es decir, que están formados por partes que son semejantes al conjunto total. Tienen una descripción algorítmica simple, entendiendo por ello que su construcción se basa en un algoritmo sencillo. Es fácil observar que los cuatro conjuntos que aparecen en la figura anteriorverifican las tres propiedades descritas. Entre las muchas actividades que se pueden plantear alrededor de los conjuntos fractales, aquí vamos a tratar las dos que consideramos más interesantes: construcción de fractales mediante algún software matemático-geométrico y una introducción a la medida y dimensión fractal.

1. Construcción de fractales
El mejor modo de entender lo que es un fractal consisteen examinar como surge geométricamente a partir de su definición algorítmica. Los cuatro fractales anteriores se construyen mediante sencillos algoritmos geométricos que podemos implementar con cualquier software geométrico del tipo de Cabri, GeoGebra, etc. Describiremos a continuación cómo se puede proceder para construir cada uno de ellos.

1.1. Conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor es elfractal por antonomasia, y también el primero conocido. Fue ideado por Georg Cantor en 1883 como ejemplo de conjunto de longitud cero cuyos puntos se pueden identificar uno a uno con todos los puntos de una recta (que tiene longitud infinita). Para su construcción se parte de un segmento de longitud 1. Se divide en tres partes iguales y se elimina la parte central abierta (es decir, sin incluir losextremos). Cada una de las otras dos se divide en tres partes iguales y se eliminan las partes centrales (abiertas) en cada una de ellas. Se procede igual con cada uno de los cuatro segmentos que quedan. Y se repite el proceso infinitas veces.

Primeros pasos de la construcción del conjunto de Cantor

Como se observa aquí, y se repetirá en el resto de fractales, la construcción se obtiene despuésde infinitas repeti2

ciones de un algoritmo geométrico sencillo: dividir un segmento en tres partes iguales y eliminar la parte central (es decir, quedarnos con las dos partes de los extremos). Para implementar la construcción con el software geométrico elegido se pueden seguir los siguientes pasos: 1. Construir una macro que divida un segmento en tres partes iguales: se dibuja un segmento yaplicando, por ejemplo, la regla de Thales, se obtienen los dos puntos que lo dividen en tres partes iguales. El objeto inicial de la macro es el segmento original y el objeto final los dos puntos obtenidos.

División de un segmento en tres partes iguales Esta macro, que llamaremos thales, se puede guardar para usarla más adelante en la construcción de la curva de Koch. 2. Construir una macro, quellamaremos cantor asociada al algoritmo: se dibuja un segmento al que se le aplica la macro thales que lo divide en tres partes iguales y, de los tres segmentos obtenidos, dibujamos los dos de los extremos. El objeto inicial de la macro es el segmento original y el objeto final los dos segmentos de los extremos.

Objeto inicial

Macro thales Construcción de la macro cantor

Objeto final...