Rosenbrock 1

Vol. XVII, No 2, Diciembre (2009)
Matemáticas: 83–100

Matemáticas:
Enseñanza Universitaria
c
�Escuela
Regional de Matemáticas
Universidad del Valle - Colombia

Método Galerkin–Rosenbrock adaptativo para un modelo de
reacción–combustión
Carolina Domínguez García

Jairo Duque

Universidad del Valle

Universidad del Valle

Recibido Feb. 17, 2009

Aceptado Oct. 28, 2009

Abstract
In this paper theexistence and uniqueness of a weak solution for a nonlinear parabolic system
modeling a combustion-reaction process are proved. The combustion-reaction process obeys
Arrhenius’ Law for small values of time. The boundary conditions describe the ignition process
of the reaction by means of a Dirichlet condition on a portion of the boundary kept at a constant
temperature, while on the rest of theboundary a homogeneous Neumann condition is maintained
after ignition. Numerical results validating the efficiency of the proposed multistep method are
also presented.
Keywords: Finite element method, a piori estimate, nonlinear parabolic system, Fixed-Point
Theorem, Rosenbrock method
MSC(2000): 47J25, 65M60
Resumen
En este trabajo se demuestra existencia y unicidad de la solución débil de un sistemaparabólico
no lineal de ecuaciones diferenciales con condiciones de frontera mixtas, las cuales modelan un
proceso de reacción-combustión. El proceso de reacción-combustión obedece la ley de Arrhenius
para valores pequeños del tiempo. Las condiciones de frontera describen el proceso de ignición de
la reacción mediante una condición tipo Dirichlet que calienta una parte de la frontera, mientras
elresto de la frontera tiene una condición tipo Neumann homogénea la cual se mantiene después
de la ignición. Además se presentan resultados numéricos que validan la eficiencia del método
multipaso propuesto.
Palabras y frases claves: Método de los elementos finitos, estimativo a priori, sistema parabólico no lineal, teorema de punto fijo, método de Rosenbrock

1

Introducción

Consideremos el siguientesistema parabólico no lineal
∂
∂t u(x, t)

+ A(x, t) u = f (u)

en

Ω × (0, τ ],

B(x, t) u = g(x, t) sobre ∂Ω × [0, τ ],
u(x, 0) = u0 (x)

en

(1)

Ω × {t = 0},

donde Ω ⊂ RN es el dominio espacial con frontera ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 que satisface
Γ1 ∩Γ2 = ∅, x = (x1 , . . . , xN ) ∈ Ω es la variable espacial, t es la variable temporal
con t ∈ [0, τ ] para algún τ > 0, A es un operador lineal, B es eloperador que
describe las condiciones de frontera, u ∈ Rm es la función solución en términos de
las variables (x, t) y el término f (u) es una función no lineal en u. Denotaremos

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C. Domínguez y J. Duque

¯ τ al conjunto Ω
¯ × (0, τ ]) y con ∂i la derivada
con Ωτ al conjunto Ω × (0, τ ] (Ω
parcial respecto a xi . El operador A está definido como
A(x, t)u =

N
�

j,k=1

−∂j (ajk (x, t) ∂k u) + aj(x, t) ∂j u + c(x, t)u.

Las condiciones de frontera son mixtas; definidas de tipo Dirichlet
B(x, t)u = u sobre Γ1 ,
donde u = 0 en Γ1 , y de tipo Neumann
B(x, t)u =

N
�

ajk (x, t)ηj ∂k u = g(x, t)|Γ2

sobre Γ2 ,

j,k=1

donde ηj es la j-ésima componente del vector η = (η1 , . . . , ηN ), el cual es normal
hacia afuera de la frontera ∂Ω.
Hipótesis del problema del sistema parabólico en estudio:
i.Ω es una región abierta y acotada en RN con ∂Ω ∈ C 1 y N ≥ 1.
ii. g(x, t) ∈ C ∞ (∂Ω×[0, τ ], Rm ) y f (u(·, t)) ∈ L2 (Ω, Rm ) es Lipschitz continua.
¯ τ , Rm × Rm ) para j, k =
iii. Los coeficientes ajk (x, t), aj (x, t), c(x, t) ∈ C ∞ (Ω
1, . . . , N , son matrices m×m para cada j, k = 1, . . . , N , las cuales se pueden
representar como
rs
ajk = (ars
jk (x, t))1≤r,s≤m , aj = (aj (x, t))1≤r,s≤m,
rs

c = (c (x, t))1≤r,s≤m .

1 ≤ j, k ≤ N,

Además, existe una constante θ > 0 tal que
N �
m
�

jk=1 rs=1

¯τ,
(x, t) ∈ Ω

s r
2
ars
jk (x, t) ζk ζj ≥ θ|ζ|

ζ ∈ Rm N ,

donde la norma de cada uno de los anteriores coeficientes está dada por
||ajk ||m´ax =

m
�

rs=1

||ars
axx∈Ω ,
jk (x, t)||m´
||c||m´ax =

m
�

rs=1

||aj ||m´ax =

m
�

rs=1

||ars
axx∈Ω
j (x, t)||m´

||crs (x, t)||m´axx∈Ω ....