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Función continua

Función continua
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se
producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discreta.
Una función continua de
en
es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más
formalmente su grafo esun conjunto conexo).
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente
la continuidad de funciones reales de una variable real.

Funciones reales de una variable real
Informalmente hablando, una función f
definida sobre un intervalo I es continua si
la curva que la representa, es decir el
conjunto de los puntos (x, f(x)),con x en I,
está constituida por un trazo continuo, es
decir un trazo que no está roto, ni tiene
"hoyos" ni "saltos", como en la figura de la
derecha.
El intervalo I de x es el dominio de
definición de f, definido como el conjunto
de los valores de x para los cuales f(x)
existe.
El intervalo J de y es el rango (también
conocido como imagen) de f, el conjunto de
los valores de y, tomadoscomo y = f(x). Se
escribe J = f(I). Notar que en general, no es
igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)
El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el
dominio I.

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Función continua

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Continuidad de una función en un punto
Definición de continuidad en un punto
Una función fes continua en un
punto X0 en el dominio de la función
si:

tal que para toda x

en el dominio de la función:

Otra manera más simple:
Si x0 es punto de acumulación del dominio
de la función entonces f es continua en x0 si
y sólo si
. Cuando x0
no es de acumulación del dominio, la
función es continua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de

en

,y

de una manera másrigurosa se dice que una
función
es continua en un punto x1 si
existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x
tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).
Así

pues,

una

función

f

continua

en

el

punto

x1

implica

lo

siguiente:

1. existe el límite por la derecha:2. existe el límite por la izquierda:

3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1

4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:

5. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

6. Existe f(x1):
7. El límite y el valor de la función coinciden:

Funcióncontinua

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La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.
Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa
así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1,
f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los
límites, esto significa que para todo
intervalo abierto J, centrado en y1, existe un
intervalo abierto I, centrado en x1, tal que.
Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema
cae en falta. En efecto no todo intervalo I
alrededor de x1 tiene su imagen en un
intervalo J centrado en y1, con un radio
inferior al salto de f, no importa lo pequeño
que este intervalo sea, hay valores de x del
intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto
es: xtiene imágenes que se salen de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Continuidad lateral
Una

función

es

continua

por

la

izquierda en el punto
si el límite
lateral por la izquierda y el valor de la
función en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura.
Una función

es continua por la derecha

en el punto
si...