Señales y Sistemas
Páginas: 14 (3300 palabras)
Publicado: 7 de septiembre de 2015
Métodos de Solución
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Métodos de Solución
Contenido
1
Métodos de Solución
Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Métodos de Solución
Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
Contenido
1
Métodosde Solución
Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Métodos de Solución
Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
Sistemas Lineales Triangulares
Desarrollamos el algoritmo de sustitución regresiva, con el
que podremos resolver un sistema de ecuaciones lineales
cuyamatriz de coeficientes sea triangular superior.
Este algoritmo será luego incorporado al algoritmo de
resolución de un sistema de ecuaciones lineales general
en la siguiente sección.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Métodos de Solución
Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
Sistemas Lineales Triangulares
Desarrollamos el algoritmo de sustituciónregresiva, con el
que podremos resolver un sistema de ecuaciones lineales
cuya matriz de coeficientes sea triangular superior.
Este algoritmo será luego incorporado al algoritmo de
resolución de un sistema de ecuaciones lineales general
en la siguiente sección.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Métodos de Solución
Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y Pivoteo
FactorizaciónTriangular
Sistemas Lineales Triangulares
Definición
Se dice que una matriz A = aij de orden N x N es triangular
superior cuando sus elementos verifican aij = 0 siempre que
i > j. Se dice que una matriz A = aij de orden N x N es
triangular inferior cuando sus elementos verifican aij = 0
siempre que i < j.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana yPivoteo
Factorización Triangular
Métodos de Solución
Sistemas Lineales Triangulares
Si A es una matriz triangular superior, entonces se dice que el
sistema de ecuaciones AX = B es un sistema triangular
superior de ecuaciones lineales, sistema que tiene la siguiente
forma:
a11 x1
+
a12 x2
+
a22 x2
+
a13 x3
+
...
+
a1N−1 xN−1
+
a1N xN
=
b1
a23 x3
+
...
+
a2N−1 xN−1
+
a2N xN
=
b2a33 x3
+
...
+
a3N−1 xN−1
+
a3N xN
=
b3
...
...
aN−1N−1 xN−1
aN−1N xN
=
bN−1
...
aNN xN
=
bN
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Métodos de Solución
Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
Sistemas Lineales Triangulares
Teorema: Sustitución Regresiva
Supongamos que AX = B es un sistema triangular superior. Si
akk = 0; k = 1, 2,..., N,
entonces existe una solución única del sistema.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Métodos de Solución
Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
Sistemas Lineales Triangulares
De la última ecuación:
xN =
bN
.
aNN
Usando xN en la penúltima ecuación:
xN−1 =
bN−1 − aN−1N xN
.
aN−1N−1
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Métodos de SoluciónSistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
Sistemas Lineales Triangulares
De la última ecuación:
xN =
bN
.
aNN
Usando xN en la penúltima ecuación:
xN−1 =
bN−1 − aN−1N xN
.
aN−1N−1
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Métodos de Solución
Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
Sistemas LinealesTriangulares
Usando xN y xN−1 para hallar xN−2 :
xN−2 =
bN−2 − aN−2N−1 xN−1 − aN−2N xN
.
aN−2N−2
Calculados los valores xN , xN−1 , ..., xk +1 , el paso general
es
xk =
bk −
N
j=k +1 akj xj
akk
; k = N − 1, N − 2, ..., 1.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Métodos de Solución
Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
Sistemas Lineales Triangulares...
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
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Métodos de Solución
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1
Métodos de Solución
Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
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Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
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Factorización Triangular
Sistemas Lineales Triangulares
Desarrollamos el algoritmo de sustitución regresiva, con el
que podremos resolver un sistema de ecuaciones lineales
cuyamatriz de coeficientes sea triangular superior.
Este algoritmo será luego incorporado al algoritmo de
resolución de un sistema de ecuaciones lineales general
en la siguiente sección.
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Factorización Triangular
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Desarrollamos el algoritmo de sustituciónregresiva, con el
que podremos resolver un sistema de ecuaciones lineales
cuya matriz de coeficientes sea triangular superior.
Este algoritmo será luego incorporado al algoritmo de
resolución de un sistema de ecuaciones lineales general
en la siguiente sección.
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FactorizaciónTriangular
Sistemas Lineales Triangulares
Definición
Se dice que una matriz A = aij de orden N x N es triangular
superior cuando sus elementos verifican aij = 0 siempre que
i > j. Se dice que una matriz A = aij de orden N x N es
triangular inferior cuando sus elementos verifican aij = 0
siempre que i < j.
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Eliminación Gaussiana yPivoteo
Factorización Triangular
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Sistemas Lineales Triangulares
Si A es una matriz triangular superior, entonces se dice que el
sistema de ecuaciones AX = B es un sistema triangular
superior de ecuaciones lineales, sistema que tiene la siguiente
forma:
a11 x1
+
a12 x2
+
a22 x2
+
a13 x3
+
...
+
a1N−1 xN−1
+
a1N xN
=
b1
a23 x3
+
...
+
a2N−1 xN−1
+
a2N xN
=
b2a33 x3
+
...
+
a3N−1 xN−1
+
a3N xN
=
b3
...
...
aN−1N−1 xN−1
aN−1N xN
=
bN−1
...
aNN xN
=
bN
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Factorización Triangular
Sistemas Lineales Triangulares
Teorema: Sustitución Regresiva
Supongamos que AX = B es un sistema triangular superior. Si
akk = 0; k = 1, 2,..., N,
entonces existe una solución única del sistema.
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Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
Sistemas Lineales Triangulares
De la última ecuación:
xN =
bN
.
aNN
Usando xN en la penúltima ecuación:
xN−1 =
bN−1 − aN−1N xN
.
aN−1N−1
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Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
Sistemas Lineales Triangulares
De la última ecuación:
xN =
bN
.
aNN
Usando xN en la penúltima ecuación:
xN−1 =
bN−1 − aN−1N xN
.
aN−1N−1
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Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y Pivoteo
Factorización Triangular
Sistemas LinealesTriangulares
Usando xN y xN−1 para hallar xN−2 :
xN−2 =
bN−2 − aN−2N−1 xN−1 − aN−2N xN
.
aN−2N−2
Calculados los valores xN , xN−1 , ..., xk +1 , el paso general
es
xk =
bk −
N
j=k +1 akj xj
akk
; k = N − 1, N − 2, ..., 1.
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