señales

Se˜ales y Sistemas 1
n
Sesi´n 14
o
Andr´s Olarte Dussan
e
Universidad Nacional de Colombia
sede Bogot´
a

Andr´s Olarte Dussan (UN)
e

Se˜ales y Sistemas 1 Sesi´n 14
n
o

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Agenda

1

Introducci´n al an´lisis de sistemas din´micos lineales
o
a
a

2

Sistemas de primer orden

3

Sistemas de segundo orden

Andr´s Olarte Dussan (UN)
e

Se˜ales y Sistemas1 Sesi´n 14
n
o

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Introducci´n al an´lisis de sistemas
o
a
din´micos lineales
a

Andr´s Olarte Dussan (UN)
e

Se˜ales y Sistemas 1 Sesi´n 14
n
o

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Respuestas de estado cero y de entrada cero
Suponga un sistema lineal continuo

u(t)

y(t)

Sistema

La relaci´n entrada y la salida est´ descrita por la siguiente equaci´n
o
a
o
diferencial
an

d mu(t)
du(t)
d n y (t)
+ b0 u(t)
+ . . . + a0 y (t) = bm
+ . . . + b1
n
m
dt
dt
dt
n
i=0

d i y (t)
=
dt i

m

bi
i=0

n

m

ai y (i) (t) =
i=0
Andr´s Olarte Dussan (UN)
e

d i u(t)
dt i

bi u (i) (t)
i=0

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n
o

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Respuestas de estado cero y de entrada cero
n

m

ai y (i) (t) =
i=0

bi u (i) (t)
i=0Aplicamos transformada de Laplace
n

L

Andr´s Olarte Dussan (UN)
e

m

ai y (i) (t)
i=0

=L

bi u (i) (t)
i=0

Se˜ales y Sistemas 1 Sesi´n 14
n
o

5 / 90

Respuestas de estado cero y de entrada cero
n

m

ai y (i) (t) =
i=0

bi u (i) (t)
i=0

Aplicamos transformada de Laplace
n

m

ai y (i) (t)

L

i=0

=L

n
i=0

Andr´s Olarte Dussan (UN)
e

bi u(i) (t)
i=0

m

ai L y

(i)

(t) =
i=0

bi L u (i) (t)

Se˜ales y Sistemas 1 Sesi´n 14
n
o

5 / 90

Respuestas de estado cero y de entrada cero
n

m

ai y (i) (t) =
i=0

bi u (i) (t)
i=0

Aplicamos transformada de Laplace
n

m

ai y (i) (t)

L

i=0

=L

n
i=0
n

i=0

ai s Y (s) −

ai L y

(t) =
i=0

Andr´s Olarte Dussan (UN)
e

bi L u (i)(t)

m

s
k=0

i=0

m
(i)

i−0
i

bi u (i) (t)

i−k−1 (k)

y

i−0
i

(0) =
i=0

bi s U(s) −

Se˜ales y Sistemas 1 Sesi´n 14
n
o

s i−k−1 u (k) (0)
k=0

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Respuestas de estado cero y de entrada cero
n

i=0

i−0

ai s i Y (s) −

m

i−0

s i−k−1 y (k) (0) =
i=0

k=0

bi s i U(s) −

s i−k−1 u (k) (0)
k=0

Despejando Y (s) tenemos
Y(s) =

m
i
i=0 bi s U(s)
n
i
i=0 ai s

−

Andr´s Olarte Dussan (UN)
e

m
i=0

+

n
i=0

i−1
i−k−1 (k)
y (0)
k=0 ai s
n
ai s i
i=0

i−1
i−k−1 (k)
u (0)
k=0 bi s
n
i
i=0 ai s

Se˜ales y Sistemas 1 Sesi´n 14
n
o

6 / 90

Respuestas de estado cero y de entrada cero
n

i=0

i−0

ai s i Y (s) −

m

i−0

s i−k−1 y (k) (0) =
i=0

k=0

bi s iU(s) −

s i−k−1 u (k) (0)
k=0

Despejando Y (s) tenemos
Y (s) =

m
i
i=0 bi s U(s)
n
i
i=0 ai s
m
i=0

−
m
i
i=0 bi s U(s)
n
i
i=0 ai s
Respuesta de estado cero

Andr´s Olarte Dussan (UN)
e

n
i=0

+

n
i=0

i−1
i−k−1 (k)
y (0)
k=0 ai s
n
ai s i
i=0

i−1
i−k−1 (k)
u (0)
k=0 bi s
n
i
i=0 ai s

i−1
i−k−1 y (k) (0)
k=0 ai s
n
i
i=0 ai s

−m
i=0

i−1
k=0

bi s i−k−1 u (k) (0)
n
i
i=0 ai s

Respuesta de entrada cero

Se˜ales y Sistemas 1 Sesi´n 14
n
o

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Ejercicio
Considere un circuito RL con ecuaci´n:
o
R
V (t)

L

i(t)
L

di(t)
+Ri(t) = v (t),
dt

i(0) = α

v (t) = u(t) R = 1Ω L = 1H

¿ Cu´l es la respuesta de estado cero y a entrada cero?
a
1

2

3

4

α
1
y
u(s).
(s + 1)(s + 1)
α
1
u(s) y
.
(s + 1)
(s + 1)
1
α
u(s) y
.
(s + 1)
(s + 1)
1
α
y
u(s).
(s + 1) (s + 1)

Andr´s Olarte Dussan (UN)
e

Se˜ales y Sistemas 1 Sesi´n 14
n
o

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Ejercicio
di(t)
+ Ri(t) = u(t)
dt
Aplicando la transformada unilateral de Laplace
L

L(sI (s) − α) + RI (s) = u(s)
I (s) =

Andr´s Olarte Dussan (UN)
e

Lα
1
u(s) +
(Ls + R)
(Ls + R)...