Segmentos Y Angulos

CLASE 2: SEGMENTOS Y ÁNGULOS
SEGMENTOS
Se llama segmento de recta AB ( AB) al conjunto formado por los puntos A, B y
todos los puntos P entre A y B.
Los puntos A y B se llaman extremos. Las semirrectas determinadas por los
extremos de un segmento y que no tienen más puntos comunes con el segmento, se
llaman las prolongaciones del segmento.
MEDIDA DE SEGMENTOS
La medida de un segmento AB, denotadapor m ( AB)

o AB, es la distancia entre sus

puntos extremos:
m( AB)  d ( A, B)  AB

SEGMENTOS CONGRUENTES
Segmentos congruentes son aquellos que tienen igual medida:
AB  CD  m( AB)  m(CD)  AB  CD
El símbolo  se lee congruente.
CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar a confusión en lugar de AB
lugar de AB  CD usaremos AB=CD.

usaremos AB y en

TEOREMA: La congruencia de segmentos es unarelación de equivalencia, es decir,
cumple las siguientes propiedades:
1. Reflexiva: AB  AB
2. Simétrica: AB  CD  CD  AB
3. Transitiva: AB  CD  CD  EF  AB  EF
SEGMENTOS DESIGUALES
Son segmentos no congruentes. Entre dos segmentos desiguales será menor el que
tenga menor medida:
AB < CD  m( AB) < m(CD)  AB < CD

1

AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE SEGMENTOS:
En toda semirrecta OA , para cada realpositivo “X”

OA ,

existe un único punto B sobre

distinto de O, tal que m(OB) = X

O sea a cada real X le asigna un único segmento OB , esto nos permite construir
en cualquier otra semirrecta un segmento congruente con OB teniendo en cuenta
que su medida será X a partir del origen de dicha semirrecta.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Es el punto entre los extremos del segmento que lo divide en dossegmentos
congruentes.
M es punto medio de AB  AM  MB 

1
AB
2

A continuación veamos algunos tipos de enunciados:
a) Dado el segmento BC , prolongar CB
hasta D.

b) Dado BC ,
prolongar BC
hasta D tal que BC = CD En este caso podemos
afirmar que C es punto medio de BD

NOTA: Para agilizar la escritura “punto medio” lo abreviaremos, así: p.m.
SEGMENTOS ADYACENTES:
Son dos segmentos de extremoscolineales y que tienen un extremo común situado
entre los extremos no comunes.
Ejemplo:

Del gráfico podemos decir que AB y BC

Son adyacentes,

AB y AC

no son

adyacentes y AB y CD tampoco lo son.
2

“OJO” un error que frecuentemente cometemos, es por ejemplo. Dado el gráfico
anterior suponer que AB = CD. El ojo no puede darnos relaciones entre los elementos;
las únicas relaciones validas; son lasdadas en el enunciado (hipótesis) y también
aquellas que se demuestran a partir de ellas.
SUMA DE SEGMENTOS:

Si AB y BC

son dos segmentos adyacentes, el segmento AC

segmentos AB y BC :

es la suma de los

AC = AB + BC.

Recuerde colocamos el igual ya que es una suma de reales o sea sus medidas.
 AB  AC  BC 
AB  BC  AC  

 BC  AC  AB 
EJEMPLO 1
Dados A-B-C tal que M es p.m., de BC .Demostrar que AM =

AB  AC
2

Del enunciado debemos sacar las relaciones dadas entre las partes, en este caso
entre segmentos y a partir de estas,
por medio de inferencias lógicas llegar a
demostrar lo pedido o sea la tesis.

BC
=a
2
Observemos la tesis en ella la medida del segmento AM está relacionada con las
medidas de AB y AC ,
podemos plantear dos ecuaciones una que relacione a AM
En estecaso tenemos que M es p.m. de BC ,

con AB
tesis.

y la otra con AC ,

AM = AB + BM

entonces BM = MC =

procedemos luego algebraicamente para llegar a la

Simbólicamente más ágil:
3

+ AM = AC – MC
2AM = AB +AC +BM – MC
Pero BM – MC = O
AB  AC
Luego AM =
2

w=x+a
+ w= z - a
2w = x + z
xz
W=
2

EJEMPLO 2
Dados O-A-B-C tal que.

AB
BC
4OA  3OC
Demuestre que OB =
=
7
3
4

AB
BC
luego todaTransformación algebraica que realicemos en esta
=
3
4
ecuación también es válida y la podemos usar en la cadena lógica en la demostración.
AB
BC
4AB  3BC  4 AB  3BC  0 , además:
Si
=
3
4
1) OB  OA  AB
Si sumamos estas dos ecuaciones:
Dado que

2) OB  OC  BC

2OB  OA  OC  AB  BC
Observemos:
Los términos AB y  BC no aparecen en la tesis, sabemos que 4 AB  3BC  O ;
multiplicamos la...