SEMANA 3 LIMITES

CICLO 2013-2A
Unidad: II

Módulo: I
Semana: 3

ANÁLISIS MATEMÁTICO
Ing. Omar Castillo Paredes
o_castillo@doc.uap.edu.pe

TÍTULO DEL TEMA

TEORÍA DE LÍMITES

HABILIDADES
• Explica con sus palabras e ilustra mediante gráficas, el
concepto de límite de una función en un punto y el
concepto de límite infinito en un punto.
• Explica la utilidad de los límites laterales para analizar elcomportamiento límite de algunas funciones.
• Grafica funciones que satisfagan condiciones dadas en
cuanto a valores límites y, viceversa, expresa mediante
enunciados de límites el comportamiento de una función
dada por su gráfica.
• Explica el concepto de asíntota vertical e ilustrar
gráficamente los casos que se pueden presentar.

INTRODUCCIÓN
Cuando hablamos de límites, en verdad nos
planteamos unapregunta: ¿Hacia qué punto, o valor
numérico se acercan los valores de una función,
cuando nos acercamos hacia un determinado valor
numérico del dominio de la misma?

Tenemos entonces que desplazarnos a través de la
gráfica por valores que se aproximen al punto en
mención, tanto por valores que vienen desde la
izquierda de él, como de valores que vienen desde
la derecha hacia él.

DEFINICIÓN DE LÍMITESea f una función definida en un intervalo abierto
alrededor de a (no necesariamente en a).
Escribimos: Lim f ( x) L
x a

y decimos:
“el límite de f(x) cuando x tiende hacia a, es igual a L”
si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L
para todas las x suficientemente cerca de a, pero no igual
a a.

Ejemplo
Analizar el comportamiento de la función:
f ( x) 

x 2
x 2  3x  2cuando x tiende hacia 1 y cuando x tiende hacia 2
f(0,9)=-10
f(1,1)=10
f(0,95)=-20
f(1,05)=20
f(0,99)=-100
f(1,01)=100
f(0,999)=-1000 f(1,001)=1000
f(1,9)=1,111… f(2,1)=0,9090…
f(1,95)=1,0526 f(2,05)=0,9524
f(1,99)=1,0101 f(2,01)=0,9901
f(1,999)=1,0010 f(2,001)=0,9990

LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
El valor que encontramos al recorrer la gráfica
de la función a través de valores menores que
el punto deldominio dado, es decir, que vienen
desde la izquierda se denomina «límite lateral
de f(x) cuando x tiende al valor a por la
Y y se denota por:
izquierda»
y=f(x)

Lim f ( x) L

L

x a

x

a

X

LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=2, por la
izquierda?

Lim x 2 4
x 2

LÍMITE LATERAL DERECHO
El valor que encontramos al recorrer la gráfica
de la función a través de valoresmayores que
el punto del dominio dado, es decir, que vienen
desde la derecha se denomina «límite lateral de
f(x) cuando x tiende al valor a por la derecha» y
Y
se denota
por:
Y=f(x)
L

Lim f ( x) L
x a

a x

X
9

LÍMITE LATERAL DERECHO
¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=2, por la derecha?

Lim x 2 4
x 2

EXISTENCIA DEL LÍMITE
El límite L de una función f(x) cuando «x» tiende
al valor numérico«a» del dominio, existe, y es un
único valor numérico, si y solo si, se cumple:

Lim f ( x) L Lim f ( x)
x a

x a

Ejemplo:

En el caso de las figuras anteriores en f(x)=x 2, luego
de ver los límites laterales por la izquierda y por la
derecha, ¿qué concluye? 2
2
Lim x 4 Lim x
Como:
x 2

ENTONCES

x 2

2

Lim x 4
x 2

Ejemplo:
A continuación se muestra la gráfica de una función g.Úsela para definir los valores, en caso de existir, de:
lim g( x )
lim g( x )
lim g( x )
x  2

x 2

x 2

lim g( x )

lim g( x )

x 3

x 3

x 3

lim g( x )

Ejemplo:
¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=1?
y

lim- f(x) 2

x 1

3

lim f(x) 2

x 1

2
1

f(x) 2
 lim
x 1

5

x

Ejemplo:
¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=1?
Y

2
1
5

1

lim- f(x) 1

x 1

lim f(x) 2

x 1

X

 lim f(x)no existe
x 1

Ejemplo:
¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=1?
y

lim- f(x) 2

lim f(x) 2

x 1

x 1

3
2

f(1) 1

1
1

lim f(x) 2
x 1

5

El límite existe, sin embargo, al ser f(1) ≠ 2, la
función es discontinua en x=1

x

Ejemplo:
Dado el gráfico de y=f(x) :

lim f(x)
c) lim f(x)
a)

b)

x  3

x 0

lim f(x)
lim f(x)
x 3

d)

x  2

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
1

lim f(x) g(x)...