series

CRITERIO
De divergencia ó
del termino enésimo
Series geométrica

Resumen de criterios de convergencia y divergencia para series MATE3032
SERIES
CONVERGENCIA
COMENTARIO

∑a

diverge silim an ≠ 0 (o no existe)

Inconclusa si

lim an = 0

n →∞

n

n →∞

∞

∑a r

n −1

(i)converge con suma S=

n =1

a
1− r

si |r| < 1

Útil para criterio de comparación
siel termino enésimo an de una
serie es similar a arn-1

(ii) diverge si r ≥1
Sumas Parciales

∑a

Sea

n

S n = ∑ ai . Si {Sn } converge a S la serie
n

i =1

converge a S y si
Seriestelescópicas

− an +1 )

n

lim an = L

Suma: S= a1 –L

(i) converge si p >1

∞

∑ (a

{S n } diverge, la serie diverge.

Ver algún patrón en la sucesión
de sumas parciales.
Útilpara series telescópicas.

Útil para el criterio de
comparación si el termino
enésimo an de una serie es
similar a 1/np

n →∞

n =1

∞

Series – p

1

∑n
n =1

p

(ii) diverge sip ≤1
∞

∞

Integral

∑ an

(i) converge si

n =1

∫ f ( x)dx converge

La función f obtenida por an =
f(n) debe ser continua, positiva,
decreciente y que puedas
integral.

1

an= f(n) ≥ 0

∞

(ii) diverge si

∫ f ( x)dx diverge

∞

Residuo: 0 0, bn > 0
y

an ≤ bn

para

∑b
(ii) Si ∑ a

∑a
diverge entonces ∑ b

n converge entonces

(i) Si

n

nconverge

n diverge

La serie de comparación

∑b

n

es a menudo una serie
geométrica o
series – p.

todo n
Comparación de
limites

Razón

∑ a , ∑ bn
n

an > 0, bn > 0

∑aSi

n →∞

an
= L >0 (finito) , entonces ambos
bn

divergen o ambos convergen

Si

n

lim

lim

n →∞

an +1
=L
an

entonces la serie

(i) converge ( absolutamente) si L < 1(ii) diverge si L >1 ( o ¶)

∑a

Raíz

Si

n

lim n | an | = L
n →∞

entonces la serie

(i) converge ( absolutamente) si L < 1
(ii) diverge si L >1 ( o ¶)

Series alternantes

∑...