Series
Páginas: 6 (1349 palabras)
Publicado: 19 de abril de 2012
SUCESIÓN DE NÚMEROS REALES
Definición: Una Sucesión es una función: [pic], tal que a cada número natural le asigna un número real. Por ejemplo: [pic], para [pic] Define la sucesión:
[pic]
1 es el primer término de la sucesión y [pic], es el término general de la sucesión.
Otros ejemplos:
[pic]
[pic]
Definición Límite de Sucesión:
Sise cumple esta definición para [pic], se dice que la sucesión es CONVERGENTE.
Cuando [pic] , [pic], converge a 0 y [pic], diverge, y la sucesión se denomina DIVERGENTE.
Teorema: supongamos que [pic] y [pic], ambas convergentes. Entonces:
i. [pic]
ii. [pic]
iii. [pic], si [pic]
Consideremos ahora la sucesión [pic], en este caso la sucesión no converge a ningún valor fijo.Oscila entre -1 y 1. Se dice entonces la sucesión en OSCILANTE.
Teorema: supongamos que [pic], entonces [pic].
La reciproca no es cierta. Considere [pic]
[pic] no existe.
Teorema: supongamos que [pic] y [pic], son ambas convergentes a L. Si existe [pic] tal que para todo [pic], [pic], entonces [pic] también converge a L.
Corolario: Si [pic] entonces [pic]
Este resultado es útilpara calcular el l{imite de sucesiones del tipo [pic], [pic]
[pic]
Teorema: si [pic]y [pic]. Entonces [pic].
Teorema: toda sucesión convergente está acotada.
Se dice que [pic] es una sucesión monótona creciente si se verifica que: [pic] .
Se dice que [pic] es una sucesión monótona decreciente si se verifica que: [pic] .
Teorema: toda sucesión monótona y acotada esconvergente.
SERIES INFINITAS
Sabemos que [pic]
[pic]
[pic]
Podemos escribir:
[pic]
Aquí podemos preguntarnos por ejemplo: ¿Qué quiere decir esta suma infinita? En este caso la suma nos da un número, pero ¿siempre es así? Además, sabemos sumar de a dos, pero ¿infinito?
A lo largo de esta unidad contestaremos a estas preguntas.
En general para cualquier [pic], supongamos queempezamos sumando de a dos, esto es:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Llamamos [pic] como Suma parcial n-ésima.
A veces es fácil hallarla. Por ejemplo: [pic], hallemos las sumas parciales:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ahora podemos considerar la convergencia o divergencia de la sucesión [pic]
[pic]
Esto quiere decir que es posible sumar los infinitostérminos de la sucesión [pic], y obtenemos como resultado 1, esto es [pic].
La [pic], se denomina SERIE O SERIE INFINTA.
Esta no es una suma en el sentido usual, es el límite de la sucesión de sumas parciales.
[pic] , esta notación expresa que a medida que sumamos más y más términos la suma se aproxima al valor límite 1.
En general para cualquier [pic], podemos escribir:
[pic]
Sila sucesión de sumas parciales [pic], converge a algún número S, entonces decimos que la serie [pic] CONVERGE a S.
Escribimos:
[pic]
Decimos que S es la suma de la serie.
En otro caso si la sucesión de sumas parciales diverge ([pic] no existe), entonces decimos que la serie DIVERGE.
Ahora, investiguemos la convergencia de las siguientes series:
➢ [pic]
[pic]
➢[pic]
[pic]
Entonces [pic]
La suma parcial diverge, entonces la SERIE también diverge.
Ahora retomemos nuestro primer ejemplo de Series, [pic], En general podemos escribir [pic] que recibe el nombre de serie geométrica, las series de este tipo son útiles y se pueden estudiar por separado.
Teorema: para [pic], la serie geométrica [pic] converge al valor [pic] , si [pic] ydiverge si [pic].
Por ejemplo: a) [pic], para saber si la serie converge debemos analizar el valor de r, en nuestro ejemplo: [pic], luego la serie converge al valor:
[pic]
[pic] [pic], aquí como [pic], la serie diverge.
El valor “r” recibe el nombre de razón de la serie geométrica.
Teorema: Si la serie [pic] converge, entonces [pic].
La recíproca del teorema...
Definición: Una Sucesión es una función: [pic], tal que a cada número natural le asigna un número real. Por ejemplo: [pic], para [pic] Define la sucesión:
[pic]
1 es el primer término de la sucesión y [pic], es el término general de la sucesión.
Otros ejemplos:
[pic]
[pic]
Definición Límite de Sucesión:
Sise cumple esta definición para [pic], se dice que la sucesión es CONVERGENTE.
Cuando [pic] , [pic], converge a 0 y [pic], diverge, y la sucesión se denomina DIVERGENTE.
Teorema: supongamos que [pic] y [pic], ambas convergentes. Entonces:
i. [pic]
ii. [pic]
iii. [pic], si [pic]
Consideremos ahora la sucesión [pic], en este caso la sucesión no converge a ningún valor fijo.Oscila entre -1 y 1. Se dice entonces la sucesión en OSCILANTE.
Teorema: supongamos que [pic], entonces [pic].
La reciproca no es cierta. Considere [pic]
[pic] no existe.
Teorema: supongamos que [pic] y [pic], son ambas convergentes a L. Si existe [pic] tal que para todo [pic], [pic], entonces [pic] también converge a L.
Corolario: Si [pic] entonces [pic]
Este resultado es útilpara calcular el l{imite de sucesiones del tipo [pic], [pic]
[pic]
Teorema: si [pic]y [pic]. Entonces [pic].
Teorema: toda sucesión convergente está acotada.
Se dice que [pic] es una sucesión monótona creciente si se verifica que: [pic] .
Se dice que [pic] es una sucesión monótona decreciente si se verifica que: [pic] .
Teorema: toda sucesión monótona y acotada esconvergente.
SERIES INFINITAS
Sabemos que [pic]
[pic]
[pic]
Podemos escribir:
[pic]
Aquí podemos preguntarnos por ejemplo: ¿Qué quiere decir esta suma infinita? En este caso la suma nos da un número, pero ¿siempre es así? Además, sabemos sumar de a dos, pero ¿infinito?
A lo largo de esta unidad contestaremos a estas preguntas.
En general para cualquier [pic], supongamos queempezamos sumando de a dos, esto es:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Llamamos [pic] como Suma parcial n-ésima.
A veces es fácil hallarla. Por ejemplo: [pic], hallemos las sumas parciales:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ahora podemos considerar la convergencia o divergencia de la sucesión [pic]
[pic]
Esto quiere decir que es posible sumar los infinitostérminos de la sucesión [pic], y obtenemos como resultado 1, esto es [pic].
La [pic], se denomina SERIE O SERIE INFINTA.
Esta no es una suma en el sentido usual, es el límite de la sucesión de sumas parciales.
[pic] , esta notación expresa que a medida que sumamos más y más términos la suma se aproxima al valor límite 1.
En general para cualquier [pic], podemos escribir:
[pic]
Sila sucesión de sumas parciales [pic], converge a algún número S, entonces decimos que la serie [pic] CONVERGE a S.
Escribimos:
[pic]
Decimos que S es la suma de la serie.
En otro caso si la sucesión de sumas parciales diverge ([pic] no existe), entonces decimos que la serie DIVERGE.
Ahora, investiguemos la convergencia de las siguientes series:
➢ [pic]
[pic]
➢[pic]
[pic]
Entonces [pic]
La suma parcial diverge, entonces la SERIE también diverge.
Ahora retomemos nuestro primer ejemplo de Series, [pic], En general podemos escribir [pic] que recibe el nombre de serie geométrica, las series de este tipo son útiles y se pueden estudiar por separado.
Teorema: para [pic], la serie geométrica [pic] converge al valor [pic] , si [pic] ydiverge si [pic].
Por ejemplo: a) [pic], para saber si la serie converge debemos analizar el valor de r, en nuestro ejemplo: [pic], luego la serie converge al valor:
[pic]
[pic] [pic], aquí como [pic], la serie diverge.
El valor “r” recibe el nombre de razón de la serie geométrica.
Teorema: Si la serie [pic] converge, entonces [pic].
La recíproca del teorema...
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