Series
Páginas: 12 (2951 palabras)
Publicado: 9 de diciembre de 2012
´ Indice General
Cap´ ıtulo 1. SERIES. 1.1. Series de N´meros. u 1.2. Series de N´meros Positivos. u 1.3. El caso general. 3 3 7 12
1
CAP´ ITULO 1
SERIES.
1.1. Series de N´ meros. u Sea {ak }∞ una sucesi´n de n´meros reales. En esta secci´n trataremos de darle o u o k=0 sentido a la suma infinita
∞
ak
k=0
cuando es posible. Si Ud. ha comprendido bien el cap´ ıtulo sobreintegrales impropias tendr´ menos problemas en comprender este, porque son muy parecidos pero no a iguales. Damos ahora la definici´n de convergencia para series. o Definici´n: Dada una sucesi´n de n´meros reales {ak }∞ se define su N −´sima o o u e k=0 suma parcial por
N
SN =
k=0 ∞
ak .
N
Se dice que la SERIE infinita
k=0
ak converge si y s´lo s´ lim o ı
N
N →∞ k=0
ak existe y esfinito, en este caso se define
∞
ak = lim
k=0 N
N →∞
ak .
k=0 N
En el caso que lim
N →∞ k=0
ak = ±∞ se suele decir que la serie diverge y si lim
N →∞ k=0
ak
no existe se dice que la serie no converge. Comenzaremos dando algunos ejemplos.
1 Ejemplo: Consideremos la sucesi´n {( 2 )k }∞ . Estudiar la convergencia de o k=0 ∞ k=0
1 ( )k . 2
3
4
1. SERIES.Soluci´n: Para N natural definimos la N -´sima suma parcial por o e
N
SN =
k=0
1 ( )k 2
De C´lculo 1 se sabe que a SN = y por lo tanto
N →∞
1 − ( 1 )N +1 2 1− 1 2
lim SN = 2.
As´ la serie converge y ı
∞ k=0
1 ( )k = 2. 2
Ejemplo: Estudiar la convergencia de
∞ k=0
1 . k!
Soluci´n: o De la expansi´n en Taylor alrededor de x = 0 para la funci´n exponencial evao o luada en x= 1 se deduce que
N
e=e =
k=0
1
ec 1 + k! (N + 1)!
para alg´n c ∈ (0, 1). u Luego
N
|e −
k=0
1 e |≤ k! (N + 1)!
ya que As´ ı
ec
≤ e debido a que c ≤ 1.
N N →∞
lim
k=0
1 k!
existe y
N N →∞
lim
k=0
1 =e k!
´ 1.1. SERIES DE NUMEROS.
5
o sea la serie converge y
+∞ k=0
1 = e. k!
Observaci´n: Hacemos notar que en los dos ejemplosanteriores tenemos series o
∞
convergentes. La primera
k=0
( 1 )k converge a 2 y la segunda 2
∞
k=0
1 k!
converge a e. En
ambos casos no s´lo fuimos capaces de decidir si las series eran convergentes sino o que adem´s fuimos capaces de calcular el l´ a ımite en t´rminos de n´meros conocidos. e u Esto ultimo es en general un problema imposible. La mayor parte de la teor´ de ´ıa series de n´meros que veremos a continuaci´n se tratar´ de decidir cuando una serie u o a es convergente, en muy pocos casos seremos capaces de calcular su l´ ımite.
Veremos ahora un par de ejemplos de series que no convergen.
Ejemplo: Consideremos la serie de t´rmino general ak = 1. e Soluci´n: Sus sumas parciales son o
N
SN =
k=0
1 = N + 1.
+∞
Luego lim SN = lim (N + 1) queno existe. Por lo tanto
N →∞ N →∞ k=0
1 no es con-
vergente. En este caso particular se podr´ decir que es ∞ o que la serie diverge a a ∞. Ejemplo: Consideremos la serie de t´rmino general ak = (−1)k . e Soluci´n: Sus sumas parciales son o
N
SN =
k=0
(−1)k =
1 + (−1)N . 2
+∞
Luego lim SN = lim
N →∞
1+(−1)N 2 N →∞
no existe. Por lo tanto
k=0
(−1)k no es conver-gente.
Pasamos ahora a ver algunos principios b´sicos para decidir la convergencia de a una serie.
6 ∞
1. SERIES. ∞ ∞
Teorema: Si
k=0 ∞
ak es convergente y
∞ k=0
bk es convergente, entonces
k=0
(ak + bk ) es
convergente a
k=0
ak +
k=0
bk .
∞
∞
Teorema: Si
∞ k=0
ak es convergente y λ ∈ R, entonces
k=0
λak es convergente a
λ
k=0
ak .
∞∞
∞
Problema: Si
k=0
ak es convergente y
k=0
bk es no convergente. Es
k=0
(ak + bk ) es
convergente ?
∞ ∞ ∞
Problema: Si
k=0
ak es no convergente y
k=0
bk es no convergente, Es
k=0
(ak + bk )
convergente?
∞ ∞ k=0
k
Ejercicio: Calcular a que converge
k=0
1 7( 3 )k −
17 2 . k!
La pr´xima observaci´n es elemental y dice que la convergencia...
Cap´ ıtulo 1. SERIES. 1.1. Series de N´meros. u 1.2. Series de N´meros Positivos. u 1.3. El caso general. 3 3 7 12
1
CAP´ ITULO 1
SERIES.
1.1. Series de N´ meros. u Sea {ak }∞ una sucesi´n de n´meros reales. En esta secci´n trataremos de darle o u o k=0 sentido a la suma infinita
∞
ak
k=0
cuando es posible. Si Ud. ha comprendido bien el cap´ ıtulo sobreintegrales impropias tendr´ menos problemas en comprender este, porque son muy parecidos pero no a iguales. Damos ahora la definici´n de convergencia para series. o Definici´n: Dada una sucesi´n de n´meros reales {ak }∞ se define su N −´sima o o u e k=0 suma parcial por
N
SN =
k=0 ∞
ak .
N
Se dice que la SERIE infinita
k=0
ak converge si y s´lo s´ lim o ı
N
N →∞ k=0
ak existe y esfinito, en este caso se define
∞
ak = lim
k=0 N
N →∞
ak .
k=0 N
En el caso que lim
N →∞ k=0
ak = ±∞ se suele decir que la serie diverge y si lim
N →∞ k=0
ak
no existe se dice que la serie no converge. Comenzaremos dando algunos ejemplos.
1 Ejemplo: Consideremos la sucesi´n {( 2 )k }∞ . Estudiar la convergencia de o k=0 ∞ k=0
1 ( )k . 2
3
4
1. SERIES.Soluci´n: Para N natural definimos la N -´sima suma parcial por o e
N
SN =
k=0
1 ( )k 2
De C´lculo 1 se sabe que a SN = y por lo tanto
N →∞
1 − ( 1 )N +1 2 1− 1 2
lim SN = 2.
As´ la serie converge y ı
∞ k=0
1 ( )k = 2. 2
Ejemplo: Estudiar la convergencia de
∞ k=0
1 . k!
Soluci´n: o De la expansi´n en Taylor alrededor de x = 0 para la funci´n exponencial evao o luada en x= 1 se deduce que
N
e=e =
k=0
1
ec 1 + k! (N + 1)!
para alg´n c ∈ (0, 1). u Luego
N
|e −
k=0
1 e |≤ k! (N + 1)!
ya que As´ ı
ec
≤ e debido a que c ≤ 1.
N N →∞
lim
k=0
1 k!
existe y
N N →∞
lim
k=0
1 =e k!
´ 1.1. SERIES DE NUMEROS.
5
o sea la serie converge y
+∞ k=0
1 = e. k!
Observaci´n: Hacemos notar que en los dos ejemplosanteriores tenemos series o
∞
convergentes. La primera
k=0
( 1 )k converge a 2 y la segunda 2
∞
k=0
1 k!
converge a e. En
ambos casos no s´lo fuimos capaces de decidir si las series eran convergentes sino o que adem´s fuimos capaces de calcular el l´ a ımite en t´rminos de n´meros conocidos. e u Esto ultimo es en general un problema imposible. La mayor parte de la teor´ de ´ıa series de n´meros que veremos a continuaci´n se tratar´ de decidir cuando una serie u o a es convergente, en muy pocos casos seremos capaces de calcular su l´ ımite.
Veremos ahora un par de ejemplos de series que no convergen.
Ejemplo: Consideremos la serie de t´rmino general ak = 1. e Soluci´n: Sus sumas parciales son o
N
SN =
k=0
1 = N + 1.
+∞
Luego lim SN = lim (N + 1) queno existe. Por lo tanto
N →∞ N →∞ k=0
1 no es con-
vergente. En este caso particular se podr´ decir que es ∞ o que la serie diverge a a ∞. Ejemplo: Consideremos la serie de t´rmino general ak = (−1)k . e Soluci´n: Sus sumas parciales son o
N
SN =
k=0
(−1)k =
1 + (−1)N . 2
+∞
Luego lim SN = lim
N →∞
1+(−1)N 2 N →∞
no existe. Por lo tanto
k=0
(−1)k no es conver-gente.
Pasamos ahora a ver algunos principios b´sicos para decidir la convergencia de a una serie.
6 ∞
1. SERIES. ∞ ∞
Teorema: Si
k=0 ∞
ak es convergente y
∞ k=0
bk es convergente, entonces
k=0
(ak + bk ) es
convergente a
k=0
ak +
k=0
bk .
∞
∞
Teorema: Si
∞ k=0
ak es convergente y λ ∈ R, entonces
k=0
λak es convergente a
λ
k=0
ak .
∞∞
∞
Problema: Si
k=0
ak es convergente y
k=0
bk es no convergente. Es
k=0
(ak + bk ) es
convergente ?
∞ ∞ ∞
Problema: Si
k=0
ak es no convergente y
k=0
bk es no convergente, Es
k=0
(ak + bk )
convergente?
∞ ∞ k=0
k
Ejercicio: Calcular a que converge
k=0
1 7( 3 )k −
17 2 . k!
La pr´xima observaci´n es elemental y dice que la convergencia...
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