sexo

2.6
SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
COEFICIENTES CONSTANTES MEDIANTE EL METODO DE LOS OPERADORES

CON

En esta sección aprenderemos a resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. A estos
sistemas los llamaremos sistemas lineales. El tema abarca el estudio de los sistemas lineales de
primer orden, así como de orden superior, con dos o más funciones desconocidas,en casos
homogéneos y no homogéneos. Todos los sistemas lineales que se tratan en este tema son de
coeficientes constantes. Debido a esto, es posible utilizar el método de los operadores
diferenciales para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes
constantes. El método se basa en la eliminación que se utiliza para la resolución de sistemas de
ecuacionesalgebraicas. En el caso de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, el método de
eliminación reduce el sistema a una sola ecuación diferencial de orden n con coeficientes
constantes en términos de una de las variables.
Para aplicar el método es necesario expresar el sistema en términos del operador diferencial D.
Veamos algunos ejemplos de cómo expresar un sistema lineal en términos de “D”.Ejemplo 1. Escriba los sistemas dados en términos del operador diferencial D.

a ) 5 x'−2 y = 3 → 5D[ x] − 2 y = 3
2 x + 4 y ' = 7 → 2 x + 4 D[ y ] = 7
b) x'− x + 2 y = 0 → ( D − 1)[ x] + 2 y = 0
3x + y ' = 0 → 3x + D[ y ] = 0
c) x' '−4 y ' = 0 → D 2 [ x] − 4 D[ y ] = 0
x' '+ x'+ y ' ' = 0 → ( D 2 + D)[ x] + D 2 [ y ] = 0
d ) x' '+ x'+ y '+ y = 0 → ( D 2 + D)[ x] + ( D + 1)[ y ] = 0
x' ' '+y ' '+ y = 0 → D 3 [ x] + ( D 2 + 1)[ y ] = 0

e) x'+ y + z = 0 → D[ x] + y + z = 0
− x + y '+ z = 0 → − x + D[ y ] + z = 0
x + y + z ' = 0 → x + y + D[ z ] = 0
f ) x' = 2 x − 6 y → ( D − 2)[ x] + 6 y = 0
y′ = y − x → x + ( D − 1)[ y ] = 0
g ) x' = 2 x − y → ( D − 2)[ x] + y = 0
y ' = x → x + D[ y ] = 0
Observe que los sistemas expresados en términos del operador diferencial estánescritos en la
forma general. La notación matricial para un sistema escrito en términos de D involucra una
Ecuaciones diferenciales. Profesor Bogart Méndez

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matriz cuyos elementos son operadores diferenciales. Por esta razón, a esa matriz se le llama
matriz operacional. Veamos algunos ejemplos de notación matricial de sistemas expresados en
términos de D.

Ejemplo 2. Exprese en notaciónmatricial los sistemas siguientes:

a ) ( D 2 + D)[ x] + ( D + 1)[ y ] = 0
D 3 [x] + ( D 2 + 1)[ y ] = 0
La parte izquierda del sistema puede escribirse como el
operacional por el vector solución:

( D 2 + D) ( D + 1) 


3
( D 2 + 1)
 D
144424443
A
Matriz operacional o
"matriz de coeficientes "
del sistema

 x
 y =
 
{

X
Vector
solución

producto matricialde la matriz

0 
0 
 
{

F
Vector de
términos no
homogéneos

Observe que la matriz del sistema contiene operadores diferenciales. Por esta razón se le llama
matriz operacional, ya que puede interpretarse como un operador que opera sobre un vector cuyos
componentes son funciones.
b) D[ x] + y + z = 0
− x + D[ y ] + z = 0
x + y + D[ z ] = 0

 D 1 1   x  0 
⇒  − 1 D 1  y  = 0 
   

 1 1 D   z  0 
 4
14 244    
3{ {
A

X

F

Al escribir los sistemas en forma matricial en términos de D, notamos que la notación matricial
para el caso de sistemas escritos en la forma normal, es distinta. Esto se debe a que para ese caso
particular existe notación especial que es la que se estudió en el tema anterior.
Note que todos losoperadores diferenciales que aparecen en las matrices de los ejemplos
anteriores, son de coeficientes constantes. Ahora que sabemos como expresar un sistema lineal
con coeficientes constantes en términos del operador diferencial D, y en forma matricial,
comenzaremos a resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Primero veremos el caso
homogéneo.

Ecuaciones diferenciales. Profesor Bogart...