sisas


1.2) RESUMEN TEÓRICO
1.2.1. Densidad y masa total:
Sabiendo el uso de las aplicaciones de integrales dobles, se puede conocer la densidad de una determinada lámina, con una densidad que varía. La lámina ocupa en el plano (x,y) una región especifica. Así mismo su densidad está en un punto de esa región P(x,y). De esto podemos deducir lo siguiente:

Donde  y  son una pequeña parte del áreatotal,entonces dividimos todo el área en sub-rectángulos Rij del mismo tamaño y consideramos que ρ(x,y) se va aproximando cada vez más a cero. Si escogemos un punto (x*,y*) de Rij, entonces la masa de la parte de la lámina que ocupa Rij es aproximadamente ρ(x*,y* , donde  es el área de R(x*,y*. Al sumar todas estas pequeñas porciones del área encontramos una sumatoria de masas así:


Si ahoraaumentamos el número de sub-rectángulos, obtenemos la masa total m de la lámina como el límite del valor de las aproximaciones:

Los físicos también consideran otros tipos de densidad que se pueden tratar en la misma manera. Por ejemplo, si una carga eléctrica se distribuye sobre una región D y la densidad de carga está dada por σ(x,y) en un punto (x,y) en D, entonces la carga total Q está dadapor








1.2.2. Carga eléctrica:
Su concepto implica al punto en el que la masa se concentra sin que los momentos respecto de los ejes cambien. Su nomenclatura obedece al orden del momento involucrado, su cálculo se hace en consideración del momento cruzado al eje respectivo, así, podemos decir que:

 
 



2. COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA:
El área de unaregión plana R en el plano  viene dada por una integral doble.

El volumen  encerrado entre una superficie  y una región  en el plano  es:

Sea  la función de densidad (=masa por unidad de área) de una distribución de masa en el plano  Entonces la masa total de un trozo plano  es:

El centro de gravedad de la masa del trozo plano  anterior tiene coordenadas  donde:

Los momentos deinercia  e  de la masa de  con respecto a los ejes  e  respectivamente son:



3. MOMENTO DE INERCIA Y MOMENTO DE INERCIA POLAR


Su primer momento respecto al eje y,
My="" (x, y)dA (13b)
De 12 y 13 se deduce las coordenadas del centro de masa
'Integrales dobles'
Otros momentos de importancia en las aplicaciones a la mecánica son los momentos de inercia de la masa. estos son los segundos momentos quese obtienen utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca x y y. Así el momento de inercia respecto al eje x representado por Ix se define por
'Integrales dobles' y el momento de inercia respecto al eje y es Tiene también interés el momento de inercia polar respecto al origen dado por Esta última formula r2=x2+y2 es el cuadrado de la distanciandesde el origen al punto representativo (x, y) En todas estas integrales deben ponerse los mismos límites de integración que si se tratara solo de calcular el área de A.
Observación 1.- Cuando una partícula de masa m gira alrededor de un eje, y describiendo una circunferencia de radio r con velocidad angular o velocidad lineal v=r, su energía cinética es
½mv²=½mr².

Si un sistema departículas de masa m1,m2,…,mn gira alrededor de su eje con la misma velocidad angular, siendo r1,r2,…,rn sus distancias al eje de giro, la energía cinética del sistema es donde se le momento de inercia del sistema respecto al eje en cuestión que depende de los valores mk de las masas y de sus distancias rk. Cuando una masa m se mueve sobre una recta con velocidad v como su energía cinética es ½mv², y seprecisa una cantidad de trabajo para detener la partícula. Esta forma análoga, si un sistema de masas efectúa un movimiento de rotación como en el caso de un volante, la energía cinética de que esta animado esto
y se necesita esta misma cantidad de trabajo para llevar al reposo el sistema giratorio. Vemos que I desempeña en este caso el mismo papel que ejerce m volante en el movimiento...