Sistema no lineal

Universidad Nacional de Quilmes Ingenieria en Automatización y Control Industrial

Sistemas No Lineales TRABAJO PRÁCTICO Nº1

Demian Garcia Violini 28 de mayo de 2010

- Sistemas No Lineales - TP Obligatorio Nº1 -

Índice
1. Punto 1. 2. Punto 2. 3. Punto 3. 2 6 9

1

- Sistemas No Lineales - TP Obligatorio Nº1 -

1.

Punto 1.
Mostrar que el sistema:

x1
· x2

·

= −x1 +2 = −2x2 + x1 (3 − x1 x2 )

Tiene un equilibrio globalmente asintóticamente estable (GAE). Solución: Para poder realizar la demostración que se requiere, el primer paso es corroborar la existencia, o no de al menos un punto de equilibrio (PE). Para esto, recurriendo a la denición de PE en donde se pide que tanto

x1 = 0

·

como

x2 = 0,

·

obtenemos que:

x1 x2

= 2 = 1 R2 .Por este motivo, realizamos

Vemos que el punto de equilibrio no coincide con el origen para

una traslación del sistema con el n de poder aplicar la teoría clásica de estabilidad de Lyapunov.

Teorema.

Sea el origen

x=0

un PE de

x = f (x) V (0) = 0 V (x) > 0 V (x) ≤ 0
·

·

y sea

D ⊂ Rn

un dominio que contiene el

origen. Sea

D:V →R

una función continuamentediferenciable tal que:

Para

x ∈ D = Rn − {0}.

·
Entonces

x=0 y1 y2

es AE. Mas aún si

V (x) < 0

entonces el PE es GAE.

Presentamos un cambio de variables determinado por la ecuación 1:

= x1 − 2 = x2 − 1

(1)

De esta forma, operando algebraicamente llevamos al sistema a la forma mostrada en la ecuación 2:

y1 · y2

·

= −y1 = −2(y2 + 1) + (y1 + 2)(3 − (y1 +2)(y2 + 1)) y1 · y2
·

= −y1 2 2 = −y1 − 6y2 − y1 − 4y1 y2 − y1 y2

(2)

Una vez el sistema ya trasladado (ahora el único PE del sistema se ubica en el origen), pasamos a estudiar la estabilidad de dicho PE. Para esto recurrimos a la función de Lyapunov que se presenta en la ecuación 3:

V (x)
y

=

k1 2 2 y1

+

k2 2 2 y2

+

k2 4 4 y1

(3)

Vemos que la función de Lyapunovpropuesta es denida positiva para al menos cualquier

k1 , k2

k3 > 0,

lo cual verica la primera de la hipótesis del teorema de Lyapunov. Calculemos ahora su

derivada y corroboremos la segunda hipótesis del teorema en donde se pide que esta sea denida

·

negativa para garantizar que el PE es GAE. La ecuación 4 muestra la expresión para

V (y):
(4)

·

V (y)

=

2 2 22 2 2 4 −(6k2 y2 + k2 y1 y2 + k2 y1 y2 + 4k2 y1 y2 + k2 y1 y2 ) − (k1 y1 + k3 y1 )

Como mencionamos lineas arriba, es requisito que la derivada de la función de Lyapunov sea denida negativa, por esta razón trabajamos algebraicamente la expresión que se obtuvo en la ecuación 4 y llegamos así a la expresión mostrada en la ecuación 5:

2

- Sistemas No Lineales - TP Obligatorio Nº1 -Figura 1: Ejemplo de parábola positiva. Coeciente

a>0

y raíces complejas conjugadas.

·

V (y)

2 2 4 = −(k2 y2 ((y2 + 2)2 + 2) + k2 y2 ((y2 + 1/2)2 − 1/4) + k1 y1 + k3 y1 ) ·

(5)

De esta última expresión vemos que en

V (y)

puede expresarse como un polinomio de grado dos

y2

a coecientes

a, b

y

c

variables.

·

V (y)
En donde:

=

2 −(a(y1 )y2 + b(y1)y2 + c(y1 ) )

a(y1 ) = k2 ((y1 + 2)2 + 2) b(y1 ) = k2 ((y1 + 1/2)2 − 1/4) 2 4 c(y1 ) = k1 y1 + k3 y1 k1 , k2
y

Vemos que bajo las hipótesis planteadas para que se puede ser mas conservador y armar que manera:

k3 a(y1 )

es positivo, no solo eso si no

·

a(y1 ) > 2k2 . Así, reescribimos V (y) de la siguiente

V (y) = −P (y2 )
Para poder asegurar que el PE es GAE es precisover que

·

·
así asegurar queV

P (y2 ) conserva el signo positivo, para P (y2 )
posee

(y)

es denida negativa. Por esta razón es importante recordar que el coeciente

a(y1 )

es siempre positivo por que de esta manera si vericáramos que el polinomio

todas sus raíces complejas conjugadas (como no podría ser de otra manera si encontráramos que al menos una de ellas es...