Sistema resorte/masa ecuaciones

Sistemas Resorte/Masa
Movimiento Forzado

Tabla de contenido
Introducción 3
Objetivo del trabajo: 4
Marco Teórico 5
Ecuación Diferencial de movimiento forzado con amortiguamiento 5
Metodología Experimental 6
Resultados Teóricos 9
Resultado Experimental 12
Comparación Teórica-Experimento 14
Conclusiones 15
Bibliografía 16


Introducción

Después de haber llevado éstecurso de Ecuaciones Diferenciales aprendimos los diferentes sistemas de Resorte que hay. Escogimos éste sistema para demostrarlo debido a que es muy interesante y va a ser muy claro explicarlo gracias a los instrumentos que se tienen en el laboratorio de la universidad.
El documento comienza planteando un objetivo, con nuestra visión acerca de la utilidad y en parte una justificación deltrabajo. Partiendo de esto, exponemos el marco teórico que sustenta la metodología usada para experimentación y la obtención de los resultados.
Contando con los resultados del experimento, se hace el análisis del modelo matemático para poder contrastar las diferencias y llegar a una conclusión.

Objetivo del trabajo:

El objetivo más importante de este trabajo es relacionar el curso de EcuacionesDiferenciales con la vida real.
Los modelos matemáticos son herramientas que permiten predecir el comportamiento de casi todo lo que nos rodea y tener la oportunidad de probar las ecuaciones de movimiento de un resorte en teoría como se vio el curso, con las ecuaciones de movimiento del sistema de resorte en el laboratorio de la universidad es un punto extra para nuestro aprendizaje y creemos queaquí radica el mayor valor.

Hemos llevado un buen número de cursos teóricos de diversas áreas de las matemáticas, sin embargo pocas veces tenemos la oportunidad de comprobar que tan ciertos y exactos son los modelos planteados en teoría con lo que sucede en la vida real y gracias a este trabajo y el equipo que existe en los laboratorios de la universidad lo pudimos hacer.
Lo que se buscará conéste proyecto es demostrar tanto físicamente como matemáticamente el mismo resultado que se obtiene al realizar el movimiento del sistema Resorte/Masa: Movimiento Forzado Amortiguado.
Con el sensor ultrasónico y el software MultiLog pretendemos obtener la gráfica del sistema y así obtener los datos necesarios y nosotros matemáticamente con los datos de cada material debemos obtener los mismosresultados o aproximados.

Marco Teórico

En éste trabajo se va a considerar un sistema dinámico lineal en el que el modelo matemático es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes junto con condiciones iniciales especificadas en un tiempo que tomaremos como t=0.
a d2ydx + b dydx c y = g(t), y(0)= y0, y’(0)= y1.
La función g es la entrada, función deconducción o función forzada del sistema. Una solución y(t) de la ecuación diferencial en un intervalo I que contiene t=0 que satisface las condiciones iniciales se llama salida o respuesta del sistema.

Ecuación Diferencial de movimiento forzado con amortiguamiento

Supongamos que se toma en consideración una fuerza externa f(t) que actúa sobre una masa vibrante en un resorte. F(t) podríarepresentar una fuerza motriz que causa un movimiento vertical oscilatorio del soporte del resorte. La inclusión de f(t) en la formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación diferencial de movimiento forzado o dirigido:

m d2xdt2 = -kx - βdxdt +f(t)

Donde dividimos la ecuación anterior entre m obtenemos:
d2xdt2 + 2λ dxdt + ω2x = F(t),

Donde F(t) = f(t)/m, y, 2λ = β/m, ω2=km. pararesolver la última ecuación homogénea, se puede usar el método de coeficientes indeterminados o variación de parámetros.

Metodología Experimental

Con el uso del equipo de laboratorio de la Universidad, se obtuvo la gráfica del sistema Resorte/Masa: Movimiento Forzado con Sistema Amortiguamiento. Realizamos varias pruebas y poco a poco fuimos relacionando la teoría con lo que sucedía en nuestro...