Sistemas Lineales

520142
ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
Primer Semestre, Universidad de Concepción

CAPITULO 8.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

1

Sistemas
Definición: Sistema Lineal de Ecuaciones.
Sea K el cuerpo R o C. Un sistema lineal de m ecuaciones y n
incógnitas en K es un conjunto de m ecuaciones lineales en que cada
una tiene alo más n incógnitas, esto es,
a11 x1 +

a12 x2 +

···

+a1n xn =

b1

a21 x1 +
..
.

a22 x2 +
..
.

···

+a2n xn =
..
.

b2
..
.

am1 x1 + am2 x2 + · · ·

+amn xn = bm










(S)









donde, para i ∈ {1, · · · , m} y j ∈ {1, · · · , n} , aij ∈ K son los coeficientes
del sistema, bi ∈ K son los términos independientes del sistema y
x1 , · · · , xn son las incógnitas delsistema.
2

Sistemas
Observación.
El sistema (S) se puede escribir de la siguiente forma:


a
 11

 a21

 ..
 .

am1

a12

....

a1n

a22
..
.

....
....

am2

.... amn

a2n
..
.

A=matriz de coeficientes

 
















x1
x2
..
.
xn






 =




X=inc´
ognitas










b1





b2 

.. 
. 

bm

,

B=t´
erminos independientes

lo que nos da la formamatricial:
AX = B .
Si b1 = b2 = · · · = bm = 0, entonces el sistema se dice homogéneo,
en caso contrario se dice no homogéneo.
3

Sistemas
Definición.
Decimos que la n-upla (y1 , · · · , yn )t ∈ Kn (= Kn×1 ) es una solución del
sistema (S), si al reemplazar ordenadamente cada xi por yi con i ∈
{1, · · · , n}, se satisfacen simultáneamente las m igualdades del sistema
(S). Llamaremos conjuntosolución del sistema (S), al conjunto
formado por todas las soluciones del sistema.

Definición.
El sistema (S) se dice:
INCOMPATIBLE, si no tiene solución.
COMPATIBLE DETERMINADO, si tiene única solución.
COMPATIBLE INDETERMINADO, si tiene más de una solución.
4

Sistemas
Definición.
Dado el sistema (S), AX = B, llamaremos matriz ampliada del sistema
a la matriz (A|B) de orden m × (n + 1)Teorema

(existencia de soluciones)

El sistema (S) es compatible si y sólo si r(A) = r(A|B).
Teorema

(unicidad de soluciones)

Supongamos que el sistema (S) de m ecuaciones y n incógnitas es
compatible y que r(A) = n. Entonces la solución del sistema es única.
Teorema (multiplicidad de soluciones)
Si el sistema (S) es compatible y r =: r(A) < n, entonces a lo más r
incógnitas se expresan en términosde las n − r restantes.
5

Sistemas
Observación.
Consideremos el sistema (S), AX = B. Si F representa a
cualquiera de las tres operaciones elementales por filas, entonces
F (A)X = F (B).
Si (A|B) es equivalente por filas a la matriz (A1 |B1 ), entonces el
sistema
A1 X = B1 ,
es compatible si y sólo si el sistema (S) es compatible. En este caso,
el conjunto solución de ambos sistemas es elmismo.

6

Sistemas

Un caso particular de lo anterior es la sucesión de operaciones
elementales que transforman la matriz A en la matriz identidad.
Aplicando las mismas operaciones a la matriz ampliada se obtiene
el Método de eliminación de Gauss-Jordan.
Notar que el sistema homogéneo AX = Θ siempre tiene solución.
Además el sistema homogéneo AX = Θ tiene solución no nula si y
sólo si r(A) < n (n esel número de incógnitas del sistema).

7

Sistemas
Ejemplo.
Para el sistema:
x1

− 2x2 + 4x3 =

3

−x1

+ 3x2 + 2x3 =

4 ,

5x1

− 6x3 = −1

la matriz ampliada es


1 −2


 −1

5

3
0

4

3





1




2
4  ∼ 
 0
−6 −1
0

0 0 1




1 0 1 
,
0 1 1

de donde la solución del sistema original es X = (1 , 1 , 1)t .
8

Sistemas
Sistemas de Cramer.

Si A ∈ Mn (K), con |A| = 0, entoncesla matriz

A es inversible y el sistema A · X = B, de n ecuaciones y n incógnitas,
tiene solución única
X = A−1 · B .
Recordando que A−1 =

1
|A| adj(A)

=

1
|A|

(cij )T1≤i,j≤n , obtenemos la:

Regla de Cramer.
Si A ∈ Mn (K) con |A| = 0, entonces la única solución del sistema
AX = B, B = (b1 , b2 , ..., bn )t es
X = (x1 , ..., xn )t , con

1
xi =
|A|

n

cki bk ,

i ∈ {1, · · · , n}.

k=1

9...