sistemas


UNIDAD VI
TRANSFORMACIONES LINEALES1

El concepto de transformaciones lineales es similar al de funciones, toma un
elemento de un conjunto y luego de realizar alguna operación de manera tal de
obtener su transformado.

Sean V y W dos espacios vectoriales cualesquiera, y sea X un elemento de V, Luego:
T: V → W
Para todo X ∈ V existe T(X) ∈ W

La transformaciones queconsideraremos deberán ser lineales, por lo que deben
cumplir con las condiciones de linealidad, por lo que diremos que se si T: V → W es
lineal deberá cumplirse que:

∀ X e Y ∈ V y T(X), T(Y) ∈ W → T(X + Y) = T(X) + T(Y)
T(αX) = αT(X)

Cumpliendo las transformaciones con estas dos condiciones se está en presencia de
una Transformación Lineal ya que las mismas son las que garantizan lalinealidad, o
sea la aditividad y la homogeneidad.

“Una Transformación Lineal es una función en la que los elementos que se
transforman son elementos de espacios vectoriales, cumpliendo la transformación
con las condiciones de linealidad.”
1
Material elaborado por la Prof. Ana Aída SFORZINI. Año 2009.
1Gráficamente:
V W
X T(X)
αT(X) αX
X+Y
T(Y) + T(Y)Las dos condiciones que garantizan la linealidad de una transformación las podemos
escribir como:
T(αX + βY) = T(αX) + T (βY) = αT (X) + β T (Y)

V se denomina el dominio de la transformación, y contiene todos los elementos a los
cuales se les aplicará la transformación lineal.

W es el condominio de la transformación lineal y contiene todos los elementos que se
obtienende transformar los elementos del dominio, y que constituyen de la imagen
de la transformación lineal.

Propiedades
En toda transformación lineal T: V → W se cumple que:
T (θv) = θw
T(-X) = (-1) T(X) ∀ X ∈ V
T (X1 – X2) = T(X1) + (-1) T(X2) ∀ X1, X2 ∈ V

Operaciones
Sean T’ y T’’ transformaciones lineales que tienen el mismo
conjunto dominio y el mismo conjunto codominio, esdecir, T’: V → W y T’’: V → W

T’(X) + T”(X) = (T’ + T”) (X)
α T(X) = (αT) (X)


2 Sean T’ y T’’ dos transformaciones lineales T’: V → W y T’’: W → U
entonces la transformación lineal compuesta es T’’ ◦ T’: V → U

(T” ◦ T’) (X) = T”(T’(X))

Esta es la composición de transformaciones lineales gráficamente:


•X
•T’(X) •(T”.T’)(X)
T”(T’)(X)





En estediagrama de Venn el primer conjunto es V, el segundo es W, y el tercero es
U.
Lo que se pretende con la composición es poder definir una función lineal que tenga
por dominio el espacio vectorial V y por codominio el espacio vectorial U.

Núcleo e Imagen de una transformación lineal
Toda transformación lineal tiene asociada a ella dos espacios vectoriales, el espacio
dominio (conjuntode partida) y el espacio codominio (conjunto de llegada), cada uno
de estos espacios vectoriales tienen suespacios que pertenecen a ellos y que se
denominan el núcleo de la transformación lineal (que pertenece al dominio) y la
imagen de la transformación lineal (que pertenece al codominio). Analizaremos cada
uno de ellos:

Núcleo de una transformación lineal

Dada T: V → Wtransformación lineal
Si tenemos X ∈ V y resulta T(X) = θW entonces decimos que X pertenece al núcleo de
la transformación lineal y se denota por NT .
O sea: El NT está formado por los elementos del domonio tales que su transformado
es el nulo del codominio. Escrito en forma de conjunto tendremos:

3En toda T: V → W lineal

N(T) =∈ = { X V / T(X) θW }

Como el NT está incluído en V,es un subconjunto de V, probaremos que es un
subespacio vectorial ya que V un espacio vectorial:

Si X ∈ V y resulta X = θV ⇒ T(θV) = θW (por propiedad de
transformación Lineal), por lo que el NT ≠ φ (vacío).
Si X e Y ∈ NT ⇒ T(X) = θW y T(Y) = θW

T(X + Y) = T(X) + T(Y) = θW + θW = θW

Si α ∈ R:
T(αX) = α T(X) = α θW = θW

Luego el NT es un subespacio vectorial del...