SistemasLTI 1

eman ta zabal zazu

Universidad del País Vasco
Departamento de Arquitectura y Tecnología de Computadores
upv

ehu

Procesado digital de imagen y sonido
Tema 4_ Sistemas LTI
•
•

Definición y principal ventaja
Análisis temporal de la respuesta de los sistemas LTI
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–
–

•

Análisis frecuencial de los sistemas LTI
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•

Convolución en el dominio de la frecuencia
Respuesta frecuencialFiltros y filtro ideal
Sistemas bidimensionales

Descripción recursiva de los sistemas LTI.
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–
–

PDI 2007-08

Respuesta a impulso
Convolución:
Respuesta a impulso y propiedades del sistema
Sistemas bidimensionales

Ecuaciones en diferencias.
Sistemas bidimensionales
Relación con h(n)
Resolución de las ecuaciones en diferencias
Ecuaciones en diferencias y estabilidad.

4.1

Sistemas LTI:definición
• Un sistema T es LTI (Linear Time-Invariant) si cumple dos
propiedades:
• Linealidad
T [a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = a1T [ x1 (n)] + a2T [ x2 (n)]
x1 (n)

x1 (n)
a1

y (n)
+

x2 (n)

T

≡

x2 (n)

a2

∀a1 , a2 , x1 (n), x2 (n)
T

a1

y (n)
+

T

a2

• Invarianza a desplazamientos (invarianza en el “tiempo”)
Si T [ x(n)] = y (n) entonces T [ x(n − k )] = y (n − k )
x(n)

PDI 2007-08

T

y(n)

x(n)T

∀x(n), k
y(n)

4.2

Sistemas LTI: principal ventaja

• Para analizar el comportamiento del sistema nos basta conocer
su respuesta a algún tipo de señal básico (por ejemplo impulso) a
partir del cual, se pueda construir cualquier señal
• La respuesta a cualquier entrada la podremos obtener sumando
y desplazando la respuesta a esa señal básica
• Diferentes señales básicas dan lugar a distintostipos de análisis:
• Impulsos unidad
→
Análisis temporal
• Sinusoides
→
Análisis frecuencial

PDI 2007-08

4.3

Descomposición de una señal en impulsos
Cualquier señal se puede expresar
como combinación de impulsos

x ( n) =

+∞

∑ x(k )δ (n − k )

x(−1)δ (n + 1)
x(0)δ (n)

k = −∞

x(1)δ (n − 1)
x(n)

=∑

x(2)δ (n − 2)
x(3)δ (n − 3)

PDI 2007-08

4.4

Respuesta a impulso de un sistema
Dado unsistema T, se llama respuesta a impulso del sistema a la señal:

h(n) = T [δ (n)]
Es decir, a la salida del sistema cuando la entrada es la función impulso
unidad δ(n)

δ (n)

T

h(n)

Un sistema LTI queda completamente caracterizado por su respuesta a
impulso, porque como cualquier señal se puede descomponer en suma de
impulsos, basta conocer esta respuesta para conocer la respuesta a
cualquierseñal.

PDI 2007-08

4.5

Respuesta a cualquier señal. Convolución
Dado un sistema T LTI, del que conocemos su respuesta a impulso h(n)

x(n)
T

y (n) = T [x(n)]

≡

x(n)

y (n)
h(n)

Para una entrada cualquiera x(n) expresada como suma de impulsos la salida será:

 +∞

y (n) = T  ∑ x(k )δ (n − k )
k =−∞

Por ser lineal

+∞

y ( n) =

∑ x(k )T [δ (n − k )]

k = −∞

Y por ser invariante

y ( n) =+∞

∑ x ( k ) h( n − k ) = x ( n) ∗ h( n)

k = −∞

A esta operación se la llama convolución y se representa mediante un ∗. La salida
de un sistema LTI es la convolución de la entrada y de la respuesta a impulso.

PDI 2007-08

4.6

Interpretación gráfica de la convolución (I)
x(n)

y (n)

y ( n) =

h(n)

+∞

∑ x ( k ) h( n − k ) = x ( n) ∗ h( n)

k = −∞

Desde el punto de vista de la señal deentrada, la convolución puede calcularse
sumando las respuestas producidas por cada punto de la entrada (respuestas a
impulso).

x ( 0) h ( n )

x(n)

x(1)h(n − 1)

h(n)

∗

y (n)

=∑

=
x ( 2) h ( n − 2)
x(3)h(n − 3)

PDI 2007-08

4.7

Interpretación gráfica de la convolución (II)
x(n)

y (n)

y ( n) =

h(n)

+∞

∑ x ( k ) h( n − k ) = x ( n) ∗ h( n)

k = −∞

Desde el punto de vista de la señal desalida, la convolución en un instante
puede calcularse sumando las respuestas producidas por todos los puntos de
la entrada en ese instante

x(k )

nn == 25
1037
64

y (n)

k
h(15
37
64
2−−k−)kk))

∑×
k

h(k )

k
PDI 2007-08

4.8

Propiedades de la convolución y por tanto de los sistemas LTI

x ( n) ∗ h( n) = h( n) ∗ x ( n)

• Conmutativa:
+∞

+∞

k = −∞

k = −∞

∑ x ( k ) h( n − k ) = ∑ h( k...