SISTEMES D EQUACIONS LINEALS DinA4

Àlgebra lineal
Equació lineal
Des del punt de vista algebraic la paraula lineal significa que les expressions
matemàtiques que es tracten són del tipus: Ax + By + Cz + D = 0 , on A, B, C i D
són nombres reals. Les incògnites només poden estar multiplicades per
números i sumades o restades entre sí. Exemple: 3x + 2 y − 5 z + 4 = 0
1
No són lineals les expressions següents: x 2 , x n , Sin( x), , x, Ln( x) entre
x
d’altres.
Sistemes d’equacions lineals
Un sistema de m equacions amb n incògnites (no sempre m=n), és un conjunt
de m igualtats que s’expressa de la següent forma:

a11 x1
a 21 x1

+
+

a m1 x1

+ am 2 x2

a12 x2
a 22 x2

+
+

a13 x3
a 23 x3

+
+

+
+

+ a m 3 x3

+

+ a mn xn

a1n xn
a2 n xn

=
=

b1
b2

= bm

A on els aij son els coeficients del sistema (la i indica el númerode fila,
l’equació, i la j el número de columna, la incògnita associada), les x j indiquen
les incògnites i les bi els termes independents.
Obs. Substituïm x1 = x, x2 = y, x3 = z ,…
Notació matricial
És freqüent expressar els sistemes d’equacions en notació matricial, de tal
forma que s’alleugereix la quantitat de caràcters que cal escriure sense perdre
informació. Així l’anterior sistemad’equacions lineals es pot escriure com:

⎛ a11
⎜
⎜ a21
⎜
⎜
⎜a
⎝ m1

a12
a22

a13
a23

a1n
a2 n

am 2

am 3

amn

b1 ⎞
⎟
b2 ⎟
⎟
⎟
bm ⎟⎠

Que és la matriu associada al sistema i a on les files ( → ) representen les
equacions i les columnes ( ↓ ) els coeficients de les incògnites.
En el cas de tenir un sistema de 4 equacions amb 4 incògnites

⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
⎜a
a
⎜ 31 32
⎜a
⎝ 41 a42

a13
a23
a33

a14a24
a34

a43

a44

b1 ⎞
⎟
b2 ⎟
b3 ⎟
⎟
b4 ⎟⎠

1

Solució d’un sistema d’equacions lineal.
Direm que ( s1 , s2 , …, sn ) és una solució d’aquest sistema si al substituir les x j
per s j , es compleixen les m igualtats (és a dir, es verifiquen simultàniament les
m equacions).
Classificació del sistema segons el nombre de solucions
DETERMINAT
(UNA Solució)
SISTEMA

COMPATIBLE
(Té Solució)

INDETERMINAT(Infinites Solucions)

INCOMPATIBLE
(No té Solució)

Direm que un sistema d’equacions lineals és compatible quan tingui solució.
Direm que un sistema és incompatible quan no tingui solució.
Quan la solució és única direm que el sistema és compatible determinat.
Si té infinites solucions direm que el sistema és compatible indeterminat. En
aquest cas parlarem de graus de llibertat: p.ex. SistemaCompatible
Indeterminat amb 1 grau de llibertat.
Sistemes equivalents.
Direm que dos sistemes d’equacions lineals són equivalents quan tenen el
mateix conjunt de solucions, malgrat no tinguin igual nombre d’equacions.
Transformacions elementals per obtenir sistemes equivalents
1. Si en un sistema d’equacions lineals, suprimim una equació que és
combinació lineal de les altres, obtenim un sistemaequivalent.
2. Si en un sistema d’equacions lineal, multipliquem una de les seves
equacions per un escalar λ ≠ 0 , obtindrem un sistema equivalent.
3. Si en un sistema d’equacions lineal, substituïm una de les seves
equacions, per exemple la i-èsima, per una combinació lineal de les
altres i d’aquesta i-èsima equació amb coeficient no nul, obtindrem un
sistema equivalent.
Utilitat d’aquestestransformacions lineals
Donat un sistema d’equacions lineal podem aconseguir un altre d’equivalent
amb coeficients més senzills i si és possible amb un menor nombre
d’incògnites. També es basa en aquestes transformacions el Mètode de Gauss
per resoldre sistemes.
El mètode de Gauss
El mètode de Gauss és un mètode de reducció ordenat, consisteix en
transformar un sistema d’equacions en un altre escalonat,que habitualment té
zeros per sota de la diagonal principal.
Per obtenir-lo es poden fer, segons
convingui, quatre transformacions
elementals:
• Multiplicar una equació per un nombre diferent de zero.
• Sumar a una equació una combinació lineal de les altres.
• Intercanviar les equacions.
• Canviar l’ordre de les incògnites o columnes (No s’acostuma a fer). En
cas de que es faci, cal recordar...