Solución de ecuaciones diferenciales

METODOS NUMERICOS
5.-Solución de ecuaciones diferenciales.

5.1 Métodos de un paso. . . . . . . . 3

5.1.1 Método de Euler y Euler mejorado. . . . . 3

5.1.2 Método de Runge-Kutta. . . . . . . 7

5.2 Método de pasos múltiples. . . . . . . 12

5.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. . 16

5.4 Aplicaciones. . . . . . . . . 17

5.-Solución de ecuaciones diferenciales.5.1 Métodos de un paso.

5.1.1 Método de Euler y Euler mejorado.
Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes.
La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en 

Donde    es la ecuación diferencial evaluada en  y  . Tal estimacion podra sustituirse en la ecuación:
 
Estafórmula es conocida como el método de Euler (o de Euler-Cauchy o de punto medio). Se predice un nuevo valor de por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de x) que habrá de extrapolarse en la forma lineal sobre el tamaño de paso h.

Análisis de error para el método de Euler.
La solución numérica de los EDO involucra dos tipos de error:

1.- Errores detruncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.

2.- Errores de redondeo, que son el resultado del número limite de cifras significativas que puede retener una computadora.

Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera es un error de truncamiento local que resulta de una aplicación del método en cuestión sobreun paso sencillo. La segunda es un error de truncamiento propagado que resulta de las aproximaciones producidas durante los pasos previos. La suma de los dos es el total, o error de truncamiento global.
Se puede obtener cierto conocimiento acerca de la magnitud y propiedades del error de truncamiento al derivar el método de Euler directamente de la expansión de la serie de Taylor. Para ello,observe que la ecuación diferencial sujeta a integración será de la forma general:

Donde  y  y  son las variables independiente y dependiente, respectivamente. Si la solución tiene derivadas continuas, puede representarse por una expansión de la serie de Taylor con respecto a los valores de inicio cómo:

Donde  termino remanente, definido como:

Donde E esta en algún lugar en el intervalo de  a  . Es posible desarrollar una forma alternativa al sustituir la ecuación en las ecuaciones para obtener:

Donde  especifica que el error de funcionamiento local es proporcional al tamaño de paso elevado a la potencia esima.
Al comparar las ecuaciones puede verse que el método de Euler corresponde a la serie de Taylor hasta e incluyendo el termino. Además, la comparación indica que ocurre unerror de truncamiento porque aproximamos la solución verdadera mediante un numero finito de términos de la serie de Taylor. De esta forma truncamos, o dejamos fuera, una parte de la solución verdadera. Al restar la ecuación se tiene:

Donde Et = error de truncamiento local verdadero. Para h lo suficientemente pequeña, los errores en los términos de la ecuación disminuyen con frecuencia en tantoaumenta el orden y el resultado a menudo es representado como:

ó

Ejemplo.
Enunciado del problema. Use el método de Euler para integrar numéricamente la ecuación:

Desde  hasta con un tamaño de paso 0.5. La condición inicial en  es . Recuerde que la solución exacta la da la ecuación:

Solución. Se puede usar la ecuación para implementar el método de Euler:

Donde  y lapendiente estimada en  es

Por tanto,

La solución real en  es

Tabla 1. Comparación de los valores verdadero y aproximado de la integral de, con la condición inicial de que  en . Los valores aproximados se calcularon mediante el método de Euler común tamaño de paso de 0.5. El error local se refiere al error incurrido sobre un solo paso. Se calcula con una expansión de la serie de Taylor. El...