Solucion De Problemas De Geometria Analitica
Páginas: 20 (4912 palabras)
Publicado: 30 de mayo de 2012
Conceptos Básicos (Problemas 1-16)
1.- Calcular la longitud de los segmentos de recta determinados por los extremos dados por las parejas de coordenadas:
a) A (-2, -5); B (3, -1) b) A (3, 2); B (0, 4) c) A (0, 2); B (3, -3) d) A ((1/2), 1); B ((-3/2), -5)
Solución:
Aplicando la ecuación de la distancia entre dos puntos:
d=±ß(x2- x1)2 + (y2- y1)2---------------------------------------- (I)
Para cada inciso tenemos:
a) A (-2, -5); B (3, -1)
Así: x A=-2; y A=-5, x B=3; y B=-1
AB = ß ((-2)-(3))2 + ((-5)-(-1))2 = ß (-5)2+ (-4)2 = ß (25)+ (16) =ß41
b) A (3, 2); B (0, 4)
Así: x A=3; y A=2, x B=0; y B=4
AB = ß (3-0)2 + (2-4)2 =ß (3)2 + (-2)2 =ß 9+4 =ß 13
c) A (0, 2); B (3, -3)
Así: x A=0; y A=2, x B=3; y B=-3
AB = ß (0-3)2 +(2-(-3))2 =ß (-3)2 + (5)2 =ß 9+25 =ß 34
d) A ((1/2), 1); B ((-3/2), -5)
Así: x A= (1/2); y A=1, x B= (-3/2); y B=-5
AB = ß ((1/2)-(-3/2))2 + (1+5)2 =ß (4/2)2+ (6)2 =ß 4+36 = ß 40 =2ß 10
2.- Determinar cuál de los siguientes puntos A (7,3); B (-5, 2); C (-8, 1), es el más cercano al punto P (-3, 5).
Solución:
Aplicando la ecuación de la distancia entre dos puntos:
d=±ß(x2-x1)2 + (y2- y1)2 ---------------------------------------- (I)
Para cada segmento de recta tenemos:
a) P (-3, 5) y A (7,3)
Así: x P=-3; y P=5, x A=7; y A=3
PA =ß (7-(-3))2 + (3-5)2 =ß (10)2 + (-2)2 =ß 104
b) P (-3, 5) y B (-5, 2)
Así: x P=-3; y P=5, x B=-5; y B=2
PB =ß ((-5)-(-3))2+ (2-5)2=ß (2)2 + (-3)3=ß 13
c) P (-3, 5) y C (-8, 1)
Así: x P=-3; y P=5, x C=-8; y C=1PC=ß ((-8)-(-3))2 + (1-5)2=ß (-5)2 + (-4)2=ß 41
Como PB < PC< PA
El punto B está más cerca del punto P
3.- Calcular el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:
a) A (-2, 2); B (7, 1); C (3, 8)
b) A (3, -1); B (-2, 7); C (1, 6)
c) A (-1, -2); B (-5, -3); C (-3, -6)
d) A (-2, -6); B (-5, 8); C (6, 9)
Solución:
El perímetro de un triángulo es la suma de sus treslados, así usando la fórmula de la distancia entre dos puntos: d=±ß(x2- x1)2 + (y2- y1)2 ---------------------------------------- (I)
Tenemos para:
a) A (-2, 2); B (7, 1); C (3, 8)
Así: x A=-2; y A=2, x B=7; y B=1; x C=3; y C=8
AB = ß (7-(-2)) 2 + (1-2)2 =ß (9)2 + (-1)2 =ß 82
BC = ß (3-7)2 + (8-1)2 = ß (-4)2 + (7)2 =ß 65
CA = ß ((-2)-(3)) 2 + (2-8)2 =ß (-5)2 + (-6)2 =ß 61Por lo que el perímetro del triángulo es:
AB + BC + CA = ß 82 + ß 65 + ß 61
Tenemos para:
b) A (3, -1); B (-2, 7); C (1, 6)
Así: x A=3; y A=-1, x B=-2; y B=7; x C=1; y C=6
AB =ß ((-2) - (3)) 2 + (7- (-1)) 2=ß (-5)2 + (8)2=ß 89
BC =ß (1-(-2)) 2 + (6-7)2 =ß (3)2+ (-1)2 =ß 10
CA =ß (3-1)2 + ((-1)-(6)) 2=ß (2)2 + (-7)2 =ß 53
Por lo que el perímetro del triángulo es:
AB + BC +CA = ß 89 + ß 10 + ß 53
Tenemos para:
c) A (-1, -2); B (-5, -3); C (-3, -6)
Así: x A=-1; y A=-2, x B=-5; y B=-3; x C=-3; y C=-6
AB =ß ((-5)-(-1)) 2 + (-3-(-2)) 2 =ß (-4)2 + (-1)2 =ß 17
BC =ß (-3-(-5)) 2 + (-6-(-3)) 2 =ß (2)2 + (-3)2 =ß 13
CA =ß (-1-(-3)) 2 + ((-2)-(-6)) 2 =ß (2)2 + (4)2 =ß 20
Por lo que el perímetro del triángulo es:
AB + BC + CA = ß 17 + ß 13 + ß 20Tenemos para:
d) A (-2, -6); B (-5, 8); C (6, 9)
Así: x A=-2; y A=-6, x B=-5; y B=8; x C=6; y C=9
AB =ß ((-5)-(-2)) 2 + (8-(-6))2 =ß (-3)2 + (14)2 =ß 205
BC =ß (6-(-5)) 2 + (9-8)2 =ß (11)2 + (1)2 =ß 122
CA =ß ((-2)-6)) 2 + ((-6)-9)2 =ß (-8)2 + (-15)2 =ß289 = 17
Por lo que el perímetro del triángulo es:
AB + BC + CA = ß 205 + ß 112 + 17
4.- Calcular elárea de los triángulos rectángulos cuyos vértices son los puntos
a) A (1, 2); B (3, 0); C (4, 1)
b) A (1, 2); B (5, 2); C (3, 0)
c) A (1, -2); B (3, 0); C (1, 2)
Solución:
Utilizando la ecuación: A= (y1(x2-x3)+y2(x3-x1)+y3(x1-x2))* (1/2)…………………………………… (II)
Nos permite determinar el área de un triángulo en función de las coordenadas de sus vértices.
También se...
1.- Calcular la longitud de los segmentos de recta determinados por los extremos dados por las parejas de coordenadas:
a) A (-2, -5); B (3, -1) b) A (3, 2); B (0, 4) c) A (0, 2); B (3, -3) d) A ((1/2), 1); B ((-3/2), -5)
Solución:
Aplicando la ecuación de la distancia entre dos puntos:
d=±ß(x2- x1)2 + (y2- y1)2---------------------------------------- (I)
Para cada inciso tenemos:
a) A (-2, -5); B (3, -1)
Así: x A=-2; y A=-5, x B=3; y B=-1
AB = ß ((-2)-(3))2 + ((-5)-(-1))2 = ß (-5)2+ (-4)2 = ß (25)+ (16) =ß41
b) A (3, 2); B (0, 4)
Así: x A=3; y A=2, x B=0; y B=4
AB = ß (3-0)2 + (2-4)2 =ß (3)2 + (-2)2 =ß 9+4 =ß 13
c) A (0, 2); B (3, -3)
Así: x A=0; y A=2, x B=3; y B=-3
AB = ß (0-3)2 +(2-(-3))2 =ß (-3)2 + (5)2 =ß 9+25 =ß 34
d) A ((1/2), 1); B ((-3/2), -5)
Así: x A= (1/2); y A=1, x B= (-3/2); y B=-5
AB = ß ((1/2)-(-3/2))2 + (1+5)2 =ß (4/2)2+ (6)2 =ß 4+36 = ß 40 =2ß 10
2.- Determinar cuál de los siguientes puntos A (7,3); B (-5, 2); C (-8, 1), es el más cercano al punto P (-3, 5).
Solución:
Aplicando la ecuación de la distancia entre dos puntos:
d=±ß(x2-x1)2 + (y2- y1)2 ---------------------------------------- (I)
Para cada segmento de recta tenemos:
a) P (-3, 5) y A (7,3)
Así: x P=-3; y P=5, x A=7; y A=3
PA =ß (7-(-3))2 + (3-5)2 =ß (10)2 + (-2)2 =ß 104
b) P (-3, 5) y B (-5, 2)
Así: x P=-3; y P=5, x B=-5; y B=2
PB =ß ((-5)-(-3))2+ (2-5)2=ß (2)2 + (-3)3=ß 13
c) P (-3, 5) y C (-8, 1)
Así: x P=-3; y P=5, x C=-8; y C=1PC=ß ((-8)-(-3))2 + (1-5)2=ß (-5)2 + (-4)2=ß 41
Como PB < PC< PA
El punto B está más cerca del punto P
3.- Calcular el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:
a) A (-2, 2); B (7, 1); C (3, 8)
b) A (3, -1); B (-2, 7); C (1, 6)
c) A (-1, -2); B (-5, -3); C (-3, -6)
d) A (-2, -6); B (-5, 8); C (6, 9)
Solución:
El perímetro de un triángulo es la suma de sus treslados, así usando la fórmula de la distancia entre dos puntos: d=±ß(x2- x1)2 + (y2- y1)2 ---------------------------------------- (I)
Tenemos para:
a) A (-2, 2); B (7, 1); C (3, 8)
Así: x A=-2; y A=2, x B=7; y B=1; x C=3; y C=8
AB = ß (7-(-2)) 2 + (1-2)2 =ß (9)2 + (-1)2 =ß 82
BC = ß (3-7)2 + (8-1)2 = ß (-4)2 + (7)2 =ß 65
CA = ß ((-2)-(3)) 2 + (2-8)2 =ß (-5)2 + (-6)2 =ß 61Por lo que el perímetro del triángulo es:
AB + BC + CA = ß 82 + ß 65 + ß 61
Tenemos para:
b) A (3, -1); B (-2, 7); C (1, 6)
Así: x A=3; y A=-1, x B=-2; y B=7; x C=1; y C=6
AB =ß ((-2) - (3)) 2 + (7- (-1)) 2=ß (-5)2 + (8)2=ß 89
BC =ß (1-(-2)) 2 + (6-7)2 =ß (3)2+ (-1)2 =ß 10
CA =ß (3-1)2 + ((-1)-(6)) 2=ß (2)2 + (-7)2 =ß 53
Por lo que el perímetro del triángulo es:
AB + BC +CA = ß 89 + ß 10 + ß 53
Tenemos para:
c) A (-1, -2); B (-5, -3); C (-3, -6)
Así: x A=-1; y A=-2, x B=-5; y B=-3; x C=-3; y C=-6
AB =ß ((-5)-(-1)) 2 + (-3-(-2)) 2 =ß (-4)2 + (-1)2 =ß 17
BC =ß (-3-(-5)) 2 + (-6-(-3)) 2 =ß (2)2 + (-3)2 =ß 13
CA =ß (-1-(-3)) 2 + ((-2)-(-6)) 2 =ß (2)2 + (4)2 =ß 20
Por lo que el perímetro del triángulo es:
AB + BC + CA = ß 17 + ß 13 + ß 20Tenemos para:
d) A (-2, -6); B (-5, 8); C (6, 9)
Así: x A=-2; y A=-6, x B=-5; y B=8; x C=6; y C=9
AB =ß ((-5)-(-2)) 2 + (8-(-6))2 =ß (-3)2 + (14)2 =ß 205
BC =ß (6-(-5)) 2 + (9-8)2 =ß (11)2 + (1)2 =ß 122
CA =ß ((-2)-6)) 2 + ((-6)-9)2 =ß (-8)2 + (-15)2 =ß289 = 17
Por lo que el perímetro del triángulo es:
AB + BC + CA = ß 205 + ß 112 + 17
4.- Calcular elárea de los triángulos rectángulos cuyos vértices son los puntos
a) A (1, 2); B (3, 0); C (4, 1)
b) A (1, 2); B (5, 2); C (3, 0)
c) A (1, -2); B (3, 0); C (1, 2)
Solución:
Utilizando la ecuación: A= (y1(x2-x3)+y2(x3-x1)+y3(x1-x2))* (1/2)…………………………………… (II)
Nos permite determinar el área de un triángulo en función de las coordenadas de sus vértices.
También se...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.