Solucionario Granvillew

PROBLEMAS RESUELTOS DE


CÁLCULO DIFERENCIAL


CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.

GRANVILLE.



























Página 14.-OPERACIONES CON FUNCIONES.

Ejercicio 1.- Dado f(x) = x³-5x²-4x +20, demostrar que f(1)=12, f(5)=0, f(0)=-2f(3), f(7)=5f(-1).
Solución.-
Ejercicio 2.- Si f(x)= 4-2x²+x4, calcular f(0), f(1), f(-1), f(2), f(-2).

Ejercicio 3.- Sif(Ø)= sen2Ø+cosØ, hallar f(0), f(¶/2), f(¶).





Página 21.- CÁLCULO DE LÍMITES.


Demostrar cada una de las siguientes igualdades:

1.- [pic] -2/5.

La variable tiende a infinito. Dividimos cada término entre la potencia más alta que es x²:

[pic]

2.- [pic]2.

La variable tiende a infinito. Dividimos cada término entre x que es la potencia más alta:
[pic]

3.- [pic][pic]La variable no tiende a infinito y no se genera división por cero por lo que simplemente sustituimos el valor de la variable independiente:
[pic][pic]

4.- [pic]
La variable no tiende a infinito. El valor límite de la h genera división por cero pero como se repite en todos los términos podemos simplificar eliminando:

[pic]En esta segunda expresión se ha eliminado la indeterminación y enella sustituimos h por 0 de la siguiente forma: [pic]

5.- [pic]
La variable tiende a infinito. Dividimos cada término entre la potencia más alta que es x³:
[pic]

6.- [pic].
La variable k tiende a 0 y la simple sustitución no genera división por cero.
[pic]

7.- [pic]
La variable tiende a infinito. Dividimos los términos entre la potencia más alta que es x5.
[pic]



8.- [pic][pic]Dividimos los términos entre la potencia más alta que es x4.
[pic]

9.- [pic]
La simple sustitución genera división por cero. Factorizamos el numerador que es una diferencia de cuadrados y eliminamos con el denominador:
[pic]

10.- [pic]
La sustitución genera división por cero. Factorizamos numerador y denominador según su caso:
[pic]



11.- [pic]
Dividimos entre la potencia másalta que es y³:
[pic]
12.-





Página 32.-REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN.-


Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general:

19.- y=3x²-4x-5. Respuesta: y’=6x-4.
20.- y=at²+bt+c. Respuesta: y’=2at+b.
21.- u=2v³-3v². Respuesta: u’=6v²-6v.
22.- y=ax³+bx²+cx+d Respuesta: y’=3ax²+2bx+c.

23.-

24.-

25.-

26.-

27.-

28.-29.-


INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.- Página 34.

Página 34. Aplicando las derivadas hallar la pendiente y la inclinación de la tangente a cada una de las curvas siguientes en el punto cuya abscisa se indica. Verificar el resultado trazando la curva y la tangente.

Problema 1.- y=x²-2, siendo x=1. Solución: 2; 63º26’
La derivada es y’=2x. En x=1 su valor es y’=2(1)=2. El ánguloes arctan2 =63º26’.

[pic]

Página 35, problema 2.- y=2x-x²/2, siendo x=3.
La derivada es y’=2-x que con x=3 tiene el valor de y’=2-3= -1. El ángulo de inclinación tiene el valor de arctan(-1)=135º.

Página 35, problema 3.- y=[pic]siendo x=2.

Página 35, problema 4.- y=3+3x-x³, siendo x= -1.
La derivada es y’=3-3x², que en x= -1 tiene el valor de y’=3 – 3(-1)² = 3-3 =0. El ángulo es elvalor de arctan(0)=0º. La tangente está horizontal en ese punto.

Página 35, problema 5.- y=x³-3x², siendo x=1.
La derivada es y’= 3x² - 6x, que con x=1 tiene el valor de y’=3(1)-6(1)= -3. El valor del ángulo de inclinación es arctan(-3).

Página 35, problema 6- Hallar el punto de la curva y=5x-x² en el que la inclinación de la tangente es de 45º.
Solución.- La tangente de 45º es 1. Debemosdeterminar dónde la derivada vale 1.
Esto ocurre donde y´ = 5-2x = 1.
2x=4
x = 2.
Y si x = 2, la ordenada es y = 5(2) – 4 = 6 y el punto es (2,6)

Página 35, problema 7.- En la curva y=x³ + x hallar los puntos en los que la tangente es paralele a la recta y=4x.

Solución.- Que sean paralelas significa que tengan la misma pendiente. La de la recta es m=4 y la de la curva es y’= 3x²+1 de...